[论文解读] The relative extremal function for Borel sets in complex manifolds

Armen Edigarian, Ragnar Sigurðsson|ArXiv.org|Jul 13, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在复流形的博雷尔集上建立了相对极值函数的解析圆公式，证明了在弱正则区域 $ D $ 中，对于局部全纯正则的博雷尔集 $ A $，相对极值函数 $ \omega(\cdot, \overline{A}, D) $ 被所有满足 $ f(0) = x $ 的解析圆 $ f $ 的 $ -\sigma_f(A) $ 的下确界所控制，从而将普莱茨基的定理推广至非开集。主要贡献在于通过约夫森流形和弱正则区域中的解析圆刻画了极值集。

ABSTRACT

We study a disc formula for the relative extremal function for Borel sets in complex manifolds.

研究动机与目标

• 将普莱茨基的相对极值函数解析圆公式从开集推广至复流形中的博雷尔集。
• 研究在复流形中博雷尔集 $ A $ 是否满足不等式 $ \omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, X) $。
• 通过弱正则区域和约夫森流形中的解析圆刻画极值集。
• 确定在何种条件下，博雷尔集 $ A \subset \partial D $ 的相对极值函数满足 $ \omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $。

提出的方法

• 将相对极值函数 $ \omega(\cdot, A, X) $ 定义为所有有上界且不大于 $ -\chi_A $ 的非正全纯次调和函数的上确界。
• 引入 $ \Omega(x, A, X) $ 为所有满足 $ f(0) = x $ 的解析圆 $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $ 的 $ -\sigma_f(A) $ 的下确界。
• 利用全纯次调和函数的次平均性质，推导出对所有博雷尔集 $ A $，有 $ \omega(x, A, X) \leq \Omega(x, A, X) $。
• 证明在复流形 $ X $ 中，若 $ A $ 局部全纯正则，则有 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $。
• 在约夫森流形的相对紧弱正则区域 $ D $ 中，对任意博雷尔集 $ A \subset \partial D $，有 $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $。
• 通过邻域序列递归构造解析圆，并利用泊松积分与佩龙-布雷默曼包络控制边界行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复流形中，博雷尔集 $ A $ 的解析圆公式 $ \Omega(x, A, X) = \omega(x, A, X) $ 在何种条件下成立？
• RQ2 在弱正则区域 $ D $ 中，博雷尔集 $ A \subset \partial D $ 的相对极值函数能否通过解析圆刻画？
• RQ3 对所有博雷尔子集 $ A \subset \partial D $，不等式 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ 是否成立？
• RQ4 博雷尔集 $ A \subset \partial D $ 的极值性与其存在具有大 $ \sigma_f(A) $ 的解析圆之间有何关系？
• RQ5 在约夫森流形中，每个有界全纯次调和函数恒为常数的性质，是否可通过解析圆逼近完全刻画此类流形？

主要发现

• 在复流形 $ X $ 中，对任意局部全纯正则的博雷尔集 $ A $，不等式 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $ 成立。
• 在约夫森流形的相对紧弱正则区域 $ D $ 中，对任意博雷尔集 $ A \subset \partial D $，有 $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $。
• 若 $ A = A_1 \cup E $，其中 $ A_1 $ 局部全纯正则，且存在 $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $ 使得 $ u^*|_E \equiv -\infty $，则对所有 $ x \in D $，有 $ \omega(x, \overline{A}, D) \leq \Omega(x, \overline{A}, D) \leq \omega^*(x, A, D) $。
• 约夫森流形具有如下性质：每个有界全纯次调和函数恒为常数，当且仅当对每个 $ p \in X $，每个非极值博雷尔集 $ A \subset X $，以及每个 $ \varepsilon > 0 $，存在解析圆 $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $，满足 $ f(0) = p $ 且 $ \sigma_f(A) > 1 - \varepsilon $。
• 紧集 $ A \subset \partial D $ 满足 $ \omega^*(\cdot, A, D) \equiv 0 $ 当且仅当存在 $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $，$ u \not\equiv -\infty $，使得 $ u^*|_A \equiv -\infty $。