[论文解读] The relative lattice path operad

Alexandre Quesney|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文构建了一个组合的集合层次操作代数 $ρ\mathcal{L}$，作为瑞士奶酪操作代数的模型，并利用巴坦林-伯杰的凝聚过程，推导出弱等价的拓扑与链操作代数。关键结果是，凝聚后的操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{m}$ 分别弱等价于拓扑与链的瑞士奶酪操作代数 $σ\mathcal{C}_{m}$ 和 $C_*(\sigma\mathcal{C}_{m})$，从而为 2-重环路空间在 2-重相对环路空间上的作用提供了代数模型。

ABSTRACT

We construct a set-theoretic coloured operad that may be thought of as a combinatorial model for the Swiss Cheese operad. This is the relative (or Swiss Cheese) version of the lattice path operad constructed by Batanin and Berger. By adapting their condensation process we obtain a topological (resp. chain) operad that we show to be weakly equivalent to the topological (resp. chain) Swiss Cheese operad.

研究动机与目标

• 基于格路结构，为瑞士奶酪操作代数提供一个组合的、集合层次的模型。
• 将巴坦林-伯杰的凝聚过程应用于该模型，以获得弱等价的拓扑与链操作代数。
• 通过所得操作代数，为 2-重环路空间在 2-重相对环路空间上的作用构造代数模型。
• 将贝尔杰对小立方体操作代数的胞腔分解推广至瑞士奶酪情形。
• 通过偏序集操作代数 $ρ\mathcal{K}_{m}$ 建立相对环路空间作用的识别原则。

提出的方法

• 在集合中构造一个双色操作代数 $ρ\mathcal{L}$，作为基于格路结构的瑞士奶酪操作代数的组合模型。
• 使用对称单幕范畴中带有零对象的余单纯对象 $δ$，对 $ρ\mathcal{L}_{m}$ 应用凝聚函子 $F$。
• 使用两种特定的余单纯对象：$δ_{\text{Top}}$ 用于拓扑操作代数，$δ_{\mathbb{Z}}$ 用于链复形。
• 通过偏序集操作代数 $ρ\mathcal{K}_{m}$ 定义 $σ\mathcal{C}_{m}$ 的胞腔分解，推广贝尔杰对小立方体操作代数的分解。
• 在 $σ\mathcal{C}_{m}$ 与 $ρ\mathcal{K}_{m}$ 的分类操作代数之间建立弱等价的来回链，证明任何 $ρ\mathcal{K}_{m}$-胞腔操作代数均弱等价于 $σ\mathcal{C}_{m}$。
• 在 cobar 构造 $ΩB$ 和相对 cobar 构造 $Ω(B,C)$ 上构造显式运算，以定义凝聚链操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ 及其子操作代数 $ρ\mathcal{S}_{2}$ 的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个组合的集合层次操作代数来建模瑞士奶酪操作代数？
• RQ2 对该模型应用凝聚过程后，是否能获得弱等价于标准瑞士奶酪操作代数的拓扑与链操作代数？
• RQ3 所得操作代数能否为 2-重环路空间在 2-重相对环路空间上的作用提供代数模型？
• RQ4 是否存在一种瑞士奶酪操作代数的胞腔分解，可推广贝尔杰对小立方体操作代数的分解？
• RQ5 能否通过 cobar 构造上的显式运算，使相对 cobar 构造具备 $ρ\mathcal{S}_{2}$-代数结构？

主要发现

• 操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{m}(\delta_{\text{Top}})$ 弱等价于拓扑瑞士奶酪操作代数 $σ\mathcal{C}_{m}$。
• 操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{m}(\delta_{\mathbb{Z}})$ 弱等价于链瑞士奶酪操作代数 $C_*(\u03c3\mathcal{C}_{m})$。
• 链操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ 允许一个弱等价的子操作代数 $ρ\mathcal{S}_{2}$，该子操作代数是满射操作代数的相对版本。
• 任何拓扑 $ρ\mathcal{K}_{m}$-胞腔操作代数均弱等价于瑞士奶酪操作代数 $σ\mathcal{C}_{m}$，从而确立了识别原则。
• 对于单位元/余单位元的双代数 $B$ 及其 $B$-余模 $C$（在单位元代数中），对偶 $(\underline{\Omega}_{u}B, \underline{\Omega}_{u}(B,C))$ 是凝聚链操作代数 $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ 的代数。
• 对偶 $(\underline{\Omega}C_*^1M, \underline{\Omega}(C_*^1M, C_*^1N))$ 通过 cobar 构造上的显式运算，可作用于操作代数 $ρ\mathcal{S}_{2}$。