[论文解读] The Relative Symplectic Cone and T^2-Fibrations

Josef G. Dorfmeister, Tianjun Li|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文引入相对辛锥以研究以环面（$T^2$-纤维丛）为纤维的4-流形上的辛结构。通过分析辛纤维和并利用陶布斯（Taubes）关于自守形式与格罗莫夫不变量之间的对应关系，作者验证了一个猜想：对于某些极小凯勒曲面（Kähler surfaces），其辛锥等于相对于典范类及其相反类的正锥之并。该结果将该猜想的已知情形推广至新的$T^2$-纤维丛类别。

ABSTRACT

In this note we introduce the notion of the relative symplectic cone. As an application, we determine the symplectic cone of certain T^2-fibrations. In particular, for some elliptic surfaces we verify a conjecture on the symplectic cone of minimal Kaehler surfaces raised by the second author.

研究动机与目标

• 为具有codimension-2辛子流形$V$的辛4-流形定义并研究相对辛锥${\mathcal{C}}^{V}_{M}$。
• 通过纤维和构造方法，确定$T^2$-纤维丛（特别是$T^2 \times \Sigma_g$和$X \#_{T^2} (T^2 \times \Sigma_k)$）的辛锥。
• 验证文献[18]中的猜想1.1，该猜想指出：对于极小凯勒曲面，辛锥等于${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$，在Kodaira维数$\kappa = 1$且$p_g > 0$的情形下成立。
• 建立使$V$为伪全纯的几乎复结构的通用性结果，从而控制$[V]$类中伪全holomorphic曲线的行为。

提出的方法

• 将相对辛锥${\mathcal{C}}^{V}_{M}$定义为$H^2(M;\mathbb{R})$中可由与固定方向及辛子流形$V \subset M$相容的辛形式表示的上同调类集合。
• 利用辛纤维和构造$M = X \#_{V} Y$，从已有流形构造新的辛4-流形，其中$V$为粘合区域。
• 在确保$\mathcal{C}^{\text{sum}} = {\mathcal{C}}^{V}_{M}$的拓扑条件下，推导出和形式锥$\mathcal{C}^{\text{sum}}$关于相对锥${\mathcal{C}}^{V}_{X}$和${\mathcal{C}}^{V}_{Y}$的粘合公式。
• 利用陶布斯关于自守形式不变量与格罗莫夫不变量之间的对应关系，通过典范类和例外类约束辛锥。
• 证明几乎复结构$J$的通用性，使得在$J$-全纯嵌入$V$处$\overline{\partial}$的线性化在$\operatorname{ind}(k([V])) \geq 0$时为满射，在$\operatorname{ind}(k([V])) < 0$时为单射。
• 证明当$k([V]) \geq 0$时，通用对$(J, \Omega)$生成光滑的0维模空间$\mathcal{K}_{V}^{[V]}(J,\Omega)$；当$k([V]) < 0$时，$V$在通用$J$下保持刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 极小凯勒曲面（Kodaira维数$\kappa = 1$且$p_g > 0$）的辛锥是否等于${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$？
• RQ2 能否通过辛纤维和操作计算$T^2$-纤维丛的相对辛锥${\mathcal{C}}^{V}_{M}$？
• RQ3 在何种条件下，和形式锥$\mathcal{C}^{\text{sum}}$与完整相对辛锥${\mathcal{C}}^{V}_{M}$重合？
• RQ4 通用几乎复结构$J$如何影响$[V]$类中伪全纯曲线的存在性与正则性？
• RQ5 自守形式基本类与典范类对$T^2$-纤维丛中辛锥施加了何种约束？

主要发现

• 在纤维和$M = X \#_{V} Y$的拓扑条件满足时，特别是当$V$具有平凡法丛时，相对辛锥${\mathcal{C}}^{V}_{M}$等于和形式锥$\mathcal{C}^{\text{sum}}$。
• 对于$T^2 \times \Sigma_g$，辛锥被完全确定，且等于${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$，从而验证了该类流形的猜想1.1。
• $X \#_{T^2} (T^2 \times \Sigma_k)$的辛锥通过纤维和技术得以计算，结果在$X$满足$p_g = 0$或$\kappa = 0$时确认了该猜想对这类$T^2$-纤维丛的成立。
• 对于$\mathcal{J}_V$中的稠密$G_\delta$子集中的通用$J$，$\overline{\partial}$在$J$-全纯嵌入$V$处的线性化在$k([V]) \geq 0$时为满射，在$k([V]) < 0$时为单射，从而保证模空间的正则性。
• 当$k([V]) < 0$时，集合$\mathcal{J}_{[V]}$确保$V$是$[V]$类中唯一的伪全纯代表，即具有刚性。
• 当$k([V]) \geq 0$时，集合$\mathcal{J}_{[V]}$在$\mathcal{J}_V \times X^{k([V])}$中稠密，且模空间$\mathcal{K}_{V}^{[V]}(J,\Omega)$在通用情形下为光滑的0维流形；除非$m > k([V])$，此时它在通用情形下为空。