[论文解读] The relativistic Burgers equation on a FLRW background and its finite volume approximation

Tuba Ceylan, Philippe G. LeFloch+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）时空背景上提出了一个相对论性Burgers方程，该方程由压力为零的流体假设下从相对论性欧拉方程推导而来。文章提出了一种保持空间均匀解的守恒型有限体积格式，能够准确捕捉不同曲率参数（k = -1, 0, 1）下的激波和稀疏波，数值结果表明，由于特征速度增加，k = -1时波的传播速度更快。

ABSTRACT

A relativistic generalization of the inviscid Burgers equation was proposed by LeFloch, Makhlof, and Okutmustur and then investigated on a Schwarzschild background. Here, we extend their analysis to a Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) background. This problem is more challenging due to the existence of non-trivial spatially homogeneous solutions. First, we derive the relativistic Burgers model of interest and determine its spatially homogeneous solutions. Second, we design a numerical scheme based on the finite volume methodology, which is well-balanced in the sense that spatially homogeneous solutions are preserved at the discrete level of approximation. Numerical experiments demonstrate the efficiency of the proposed method for weak solutions containing shock waves.

研究动机与目标

• 推导出在FLRW背景时空上具有宇宙膨胀和空间曲率效应的Burgers方程的相对论性推广。
• 识别并分析由该双曲平衡律所描述的空间均匀解，其非平凡性源于曲率背景的影响。
• 设计一种守恒型有限体积数值格式，使其在离散层面上保持空间均匀解。
• 在弱解（含激波和稀疏波）下对不同曲率参数（k = -1, 0, 1）进行数值验证，以检验该格式的性能。

提出的方法

• 通过假设流体无压强（p ≡ 0），从曲率FLRW时空上的相对论性欧拉方程推导出相对论性Burgers方程，从而得到一个几何守恒律。
• 利用尺度因子a(t)和曲率参数k，将模型表示为守恒形式，得到带有源项的双曲平衡律。
• 基于数值通量和重构技术，构建一阶和二阶守恒型有限体积Godunov类格式。
• 通过确保数值通量与源项与空间均匀解一致，实现格式的守恒性。
• 采用Rusanov型黎曼求解器计算单元界面处的数值通量，通量与源项在单元平均值处计算。
• 将该格式应用于k = -1、0和k = 1的激波与稀疏波测试案例，以评估其收敛性与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非平凡空间曲率（k = -1, 0, 1）的FLRW时空中，相对论性Burgers方程的行为如何？
• RQ2 在FLRW背景上，相对论性Burgers模型中的空间均匀解具有何种性质？
• RQ3 能否构造一种有限体积格式，使其在准确捕捉激波和稀疏波的同时，保持空间均匀解？
• RQ4 曲率参数k如何影响数值解中激波与稀疏波的传播速度和结构？
• RQ5 所提出的守恒型格式在时变、曲率背景下的不连续解中表现出怎样的收敛性与鲁棒性？

主要发现

• 由于时间依赖的尺度因子a(t)和曲率k，FLRW时空上的相对论性Burgers方程存在非平凡的空间均匀解。
• 该模型的特征速度为(1 - kr²)^{1/2}，随着k减小而增大，这解释了为何k = -1时波的传播速度比k = 0和k = 1更快。
• 所提出的有限体积格式具有守恒性，能在离散层面上保持均匀解，这对宇宙学背景下的长时间模拟至关重要。
• 数值实验表明，该格式在所有三种曲率情况下均表现出良好的鲁棒性与效率，能准确捕捉激波与稀疏波。
• 采用Godunov格式实现了二阶精度，且对稀疏波与激波解均表现出有效的收敛性。
• 图3和图4中的红线（k = -1）显示出比绿线（k = 0）和蓝线（k = 1）更快的收敛与传播速度，与特征速度的理论预测一致。