[论文解读] The renormalized volume and uniformisation of conformal structures

Colin Guillarmou, Sergiu Moroianu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文为偶数维渐近双曲爱因斯坦流形的重整化体积建立了类Polyakov公式，识别出临界点为非线性方程 $ v_n(h_0) = \text{const} $ 的解，包括爱因斯坦度量。证明了在扭曲积填充下，存在负曲率爱因斯坦度量的共形类是重整化体积的局部极小值，扩展了拟福克斯群对偶性，并将AHE端嵌入到Teichmüller空间余切丛的拉格朗日子流形中。

ABSTRACT

We study the renormalized volume of asymptotically hyperbolic Einstein (AHE in short) manifolds $(M,g)$ when the conformal boundary $\\pl M$ has dimension $n$ even. Its definition depends on the choice of metric $h_0$ on $\\partial M$ in the conformal class at infinity determined by $g$, we denote it by ${\ m Vol}_R(M,g;h_0)$. We show that ${\ m Vol}_R(M,g;\\cdot)$ is a functional admitting a "Polyakov type" formula in the conformal class $[h_0]$ and we describe the critical points as solutions of some non-linear equation $v_n(h_0)={\ m const}$, satisfied in particular by Einstein metrics. In dimension $n=2$, choosing extremizers in the conformal class amounts to uniformizing the surface, while in dimension $n=4$ this amounts to solving the $\\sigma_2$-Yamabe problem. Next, we consider the variation of ${\ m Vol}_R(M,\\cdot;\\cdot)$ along a curve of AHE metrics $g^t$ with boundary metric $h_0^t$ and we use this to show that, provided conformal classes can be (locally) parametrized by metrics $h$ solving $v_n(h)=\\int_{\\pl M}v_n(h){\ m dvol}_{h}$, the set of ends of AHE manifolds (up to diffeomorphisms isotopic to Identity) can be viewed as a Lagrangian submanifold in the cotangent space to the space $\\mc{T}(\\pl M)$ of conformal structures on $\\pl M$. We obtain as a consequence a higher-dimensional version of McMullen's quasifuchsian reciprocity. We finally show that conformal classes admitting negatively curved Einstein metrics are local minima for the renormalized volume for a warped product type filling.

研究动机与目标

• 为具有偶数维共形边界的渐近双曲爱因斯坦流形定义并研究重整化体积 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $。
• 在边界度量 $ h_0 $ 的共形变换下，建立 $ \mathrm{Vol}_R $ 变分的类Polyakov公式。
• 将 $ \mathrm{Vol}_R $ 的临界点表征为满足 $ v_n(h_0) = \text{const} $ 的解，包括爱因斯坦度量。
• 在参数化条件下，证明AHE流形的端点集合是Teichmüller空间 $ \mathcal{T}(\partial M) $ 的余切空间中的拉格朗日子流形。
• 证明存在负曲率爱因斯坦度量的共形类是扭曲积型填充下重整化体积的局部极小值。

提出的方法

• 通过计算在共形缩放 $ h_0 \mapsto e^{2\omega}h_0 $ 下的首次变分，推导出 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $ 的类Polyakov公式，得到 $ \partial_\omega \mathrm{Vol}_R = -\frac{1}{4} \int_N \omega \, v_n(h_0) \, d\mathrm{vol}_{h_0} + \text{低阶项} $。
• 利用在共形边界附近的度量渐近展开，将重整化体积定义为 $ \int_M x^z \, d\mathrm{vol}_g $ 在 $ z=0 $ 处的有限部分，其中 $ x $ 为测地边界定义函数。
• 应用共形拉普拉斯算子 $ L_{h_0} $ 的函数演算，通过包含digamma函数 $ \Psi $ 的谱函数 $ \mathcal{H}_\varepsilon(u) $ 分析 $ \mathrm{Vol}_R $ 的二阶变分。
• 依赖于每个共形代表元 $ h_0 $ 唯一存在测地边界定义函数 $ x $，确保无穷远处的度量结构定义良好。
• 利用方程 (2) 对 $ h_2 $ 的约束，保证渐近展开的一致性及重整化体积的存在性。
• 通过Weitzenböck型恒等式和谱分析证明二阶变分算子的正定性，确立局部极小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 重整化体积 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $ 在边界度量 $ h_0 $ 的共形变换下如何变化？
• RQ2 在共形类 $[h_0]$ 内，$ \mathrm{Vol}_R $ 的临界点是什么？
• RQ3 能否通过重整化体积将AHE流形的空间自然地嵌入辛几何框架？
• RQ4 在扭曲积填充下，爱因斯坦度量是否最小化重整化体积？
• RQ5 重整化体积的二阶变分是什么？在何种条件下其为正定？

主要发现

• 重整化体积具有类Polyakov公式：$ \partial_\omega \mathrm{Vol}_R = -\frac{1}{4} \int_N \omega \, v_n(h_0) \, d\mathrm{vol}_{h_0} + \text{低阶项} $，表明其依赖于Schouten张量的第 $ n $ 个初等对称函数。
• 在共形类 $[h_0]$ 中，$ \mathrm{Vol}_R $ 的临界点为满足 $ v_n(h_0) = \text{const} $ 的解，该条件被爱因斯坦度量满足。
• 在维度 $ n=2 $ 时，极值化 $ \mathrm{Vol}_R $ 对应于曲面的统一化；在 $ n=4 $ 时，其等价于求解 $ \sigma_2 $-Yamabe 问题。
• 在共形类由满足 $ v_n(h) = \int_{\partial M} v_n(h) \, d\mathrm{vol}_h $ 的度量参数化的条件下，AHE流形的端点集合（模微分同胚同伦）是 $ \mathcal{T}(\partial M) $ 的余切丛中的拉格朗日子流形。
• 在 $ n=4 $ 时，若满足条件 $ L_{h_0} - \frac{9}{4} \geq 0 $，则 $ \mathrm{Vol}_R $ 的二阶变分被证明为正定，意味着存在负曲率爱因斯坦度量的共形类是重整化体积的局部极小值。
• 通过渐近分析和对digamma函数 $ \Psi $ 的界估计，严格证明了二阶变分公式中谱函数 $ \mathcal{H}_\varepsilon(u) $ 的正性，确认了 $ \mathrm{Vol}_R $ 在临界点附近的凸性。