[论文解读] The repetition threshold for binary rich words

James D. Currie, Lucas Mol+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

semigroups and automata theory被引用 6

一句话总结

本文通過證明關於 $14/5$-free 無限二元豐富詞的結構定理，確認了 Baranwal 和 Shallit 的猜想：無限二元豐富詞的重複閾值為 $2 + \sqrt{2}/2 \approx 2.707$，並表明所有此類詞的臨界指數恰好為 $2 + \sqrt{2}/2$。作者使用同態 $f$、$g$ 和 $h$ 描述這些詞的結構，並證明臨界指數由 $f(h^\omega(0))$ 和 $f(g(h^\omega(0)))$ 兩者實現，從而解決了詞論中的一個開放問題。

ABSTRACT

A word of length $n$ is rich if it contains $n$ nonempty palindromic factors. An infinite word is rich if all of its finite factors are rich. Baranwal and Shallit produced an infinite binary rich word with critical exponent $2+\sqrt{2}/2$ ($\approx 2.707$) and conjectured that this was the least possible critical exponent for infinite binary rich words (i.e., that the repetition threshold for binary rich words is $2+\sqrt{2}/2$). In this article, we give a structure theorem for infinite binary rich words that avoid $14/5$-powers (i.e., repetitions with exponent at least 2.8). As a consequence, we deduce that the repetition threshold for binary rich words is $2+\sqrt{2}/2$, as conjectured by Baranwal and Shallit. This resolves an open problem of Vesti for the binary alphabet; the problem remains open for larger alphabets.

研究动机与目标

• 解決 Vesti 提出的關於無限二元豐富詞重複閾值的開放問題，並驗證 Baranwal 和 Shallit 的猜想。
• 確認無限二元豐富詞的最小可能臨界指數為 $2 + \sqrt{2}/2$。
• 利用同態 $f$、$g$ 和 $h$，建立無限 $14/5$-free 二元豐富詞的結構特徵。
• 證明 $f(h^\omega(0))$ 和 $f(g(h^\omega(0)))$ 的臨界指數恰好為 $2 + \sqrt{2}/2$，從而確認猜想。
• 為未來在更大字母表上研究豐富詞的重複閾值奠定基礎。

提出的方法

• 本文引入一個結構定理：每一個無限 $14/5$-free 二元豐富詞的後綴，均具有形式 $f(h^n(w_n))$ 或 $f(g(h^n(w_n)))$，其中 $w_n$ 為某個三元字母表上的無限詞。
• 關鍵同態 $f: \Sigma_3^* \to \Sigma_2^*$、$g: \Sigma_3^* \to \Sigma_3^*$ 和 $h: \Sigma_3^* \to \Sigma_3^*$ 用於將三元詞映射至二元或三元詞，其中 $f$ 保持豐富性，而 $g$ 為 $h$ 與另一同態的複合。
• 利用 Sturmian 詞的性質與連分數，特別是推廣的黃金比例 $\varphi_k$，分析 $f(h^\omega(0))$ 和 $f(g(h^\omega(0)))$ 圖像中的重複現象。
• 透過序列 $E_k = 2 + \frac{1 - 1/q_{k-1}}{1 + q_{k-2}/q_{k-1}}$ 的極限計算臨界指數，當 $k \to \infty$ 時，該極限收斂至 $2 + \sqrt{2}/2$。
• 使用數學歸納法證明序列 $E_k$ 嚴格遞增且收斂至 $2 + \sqrt{2}/2$，從而確立重複指數的上確界。
• 應用 Damanik 和 Lenz 關於標準與半標準詞共軛的結果，以界定重複因子可能的指數。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有無限二元豐富詞中，最小可能的臨界指數為何？
• RQ2 Baranwal 和 Shallit 說出的猜想——二元豐富詞的重複閾值為 $2 + \sqrt{2}/2$——能否被正式證明？
• RQ3 如何利用同態來特徵化 $14/5$-free 無限二元豐富詞的結構？
• RQ4 是否存在多個不同的無限二元豐富詞，其臨界指數為 $2 + \sqrt{2}/2$？
• RQ5 同態 $f$、$g$ 和 $h$ 在生成與分析此類詞中扮演何種角色？

主要发现

• 二元豐富詞的重複閾值確為 $2 + \sqrt{2}/2$，從而確認了 Baranwal 和 Shallit 的猜想。
• 每一個無限 $14/5$-free 二元豐富詞皆具有形式 $f(h^n(w_n))$ 或 $f(g(h^n(w_n)))$ 的後綴，其中 $w_n \in \Sigma_3^\omega$，從而建立了完整的結構特徵。
• $f(h^\omega(0))$ 的臨界指數為 $2 + \sqrt{2}/2$，與猜想的閾值完全一致。
• $f(g(h^\omega(0)))$ 的臨界指數亦為 $2 + \sqrt{2}/2$，顯示多種同態構造可達成最小可能指數。
• 序列 $E_k = 2 + \frac{1 - 1/q_{k-1}}{1 + q_{k-2}/q_{k-1}}$ 嚴格遞增且收斂至 $2 + \sqrt{2}/2$，證明此值為此類詞中重複指數的上確界。
• 補充對稱的 Rote 詞，如 $f(h^\omega(0))$ 和 $f(g(h^\omega(0)))$，被證明可達成最小臨界指數，將結果與已知的豐富詞類別聯繫起來。