[论文解读] The representation of a meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in C^n: survey of some results

Б. Н. Хабибуллин|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文综述了复数域 ℂⁿ 中亚纯函数表示为整函数之商的形式，重点通过广义 Nevanlinna 特征研究其增长估计。通过拟凸函数理论与积分不等式，建立了最大增长与 Nevanlinna 特征之比的精确上界，并对有限下指标的整函数与亚纯函数证明了该界的最优性。

ABSTRACT

The classical representation problem for a meromorphic function f in C^n, n>=1, consists in representing f as the quotient f=g/h of two entire functions g and h, each with logarithm of modulus majorized by a function as close as possible to the Nevanlinna characteristic. Here we introduce generalizations of the Nevanlinna characteristic and give a short survey of classical and recent results on the representation of a meromorphic function in terms such characteristics. When f has a finite lower order, the Paley problem on best possible estimates of the growth of entire functions g and h in the representations f=g/h will be considered. Also we point out to some unsolved problems in this area.

研究动机与目标

• 通过引入圆特征与 Ł 特征等新增长特征，将经典 Nevanlinna 理论推广至 ℂⁿ 中的亚纯函数。
• 解决 Paley 提出的关于在 ℂⁿ 中亚纯函数 f = g/h 表示下，整函数 g 与 h 的最优增长估计问题。
• 将单复变函数的结果推广至多复变情形，尤其针对有限下指标的函数。
• 识别并提出高维复空间中亚纯函数表示理论的关键未解问题。

提出的方法

• 引入圆 Nevanlinna 特征 $ T_f^c(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u_f(e^{i\theta}z) \, d\theta $，其为 ℂⁿ 上的圆拟凸函数。
• 通过在直和分解 $ \mathbb{C}^n = L_1 \oplus \cdots \oplus L_k $ 上的乘积球面积分，定义 Nevanlinna Ł 特征 $ T_\mathbf{\mbox{\L}}(\vec{r};f) $，推广经典特征。
• 利用函数 $ u_f = \max\{ \log|g_f|, \log|h_f| \} $ 或 $ u_f = \log(|g_f|^2 + |h_f|^2)^{1/2} $ 定义基于拟凸函数的增长。
• 在对数尺度下应用积分不等式与凸性论证，特别涉及 $ S(e^x) $ 关于 $ x $ 的凸性，推导增长比的界。
• 采用函数 $ P_n(\lambda) $，通过 Gamma 函数定义，表达增长比 $ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} $ 的精确上界。
• 通过构造极值函数使估计中等号成立，证明界的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ℂⁿ 中有限下指标 $ \lambda $ 的亚纯函数，$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} $ 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 定理 3.8 中的精确界 $ P_n(\lambda) $ 能否推广至无穷阶函数？
• RQ3 广义 Nevanlinna Ł 特征与 Nevanlinna-Jensen $ (\mathbf{\mbox{\L}}, \boldsymbol{\mu}) $-特征如何在多复变函数中改进增长估计？
• RQ4 定理 3.9 中的上界是否对所有 $ \lambda \geq 0 $ 成立，特别是 $ \lambda > 1 $ 时？以及积分不等式 (3.11)–(3.12) 的假设能否在一般情形下证明？

主要发现

• 对于 ℂⁿ 中有限下指标 $ \lambda $ 的亚纯函数，精确上界 $ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} \leq P_n(\lambda) $ 成立，且对某些函数可取等号。
• 对于有限下指标 $ \lambda \leq 1 $ 的拟凸函数，界 $ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;u)}{T(r;u)} \leq P_n(\lambda) $ 是最优且精确的。
• 当 $ \lambda > 1 $ 时，界变为 $ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;u)}{T(r;u)} \leq P_1(\rho) \prod_{k=1}^{n-1} b\left(\frac{\rho}{2k}\right) $，该结果渐近改进了 Dahlberg 的结果。
• 对于 $ 0 < \lambda < 1 $ 且 $ n = 2 $ 的情形，$ P_n(\lambda) $ 的界不能由 Dahlberg 的结果推出，表明其在多复变情形中实现了非平凡的推广。
• 对每个 $ \rho \geq 0 $，存在阶为 $ \rho $ 且正规型的整函数，使得 $ \lim_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f|)}{T(r;\log|f|)} = P_n(\rho) $，从而证实了界的精确性。
• 尽管对 $ \lambda \leq 1 $ 成立，但积分不等式 (3.11)–(3.12) 的假设在 $ n = 2 $ 且 $ \lambda > 1 $ 时仍未得到一般性证明。