[论文解读] The representations of cyclotomic BMW algebras

Hebing Rui, Jie Xu|ArXiv.org|Jan 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文证明了当 $ r = 2p+1 $ 为奇数时，cyclotomic BMW 代数 $\mathscr{B}_{2p+1,n}$ 是在交换环 $ R $ 上的细胞代数，建立了使其能够对域上不可约模进行完全分类的细胞结构。主要贡献在于在 $\mathbf{u}$-可允许条件下，对由 $\mathbf{u}$-Kleshchev 多分拆索引的不可约表示进行分类，其行为取决于 $ n $ 的奇偶性以及某些参数 $\omega_i$ 是否为零。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the cyclotomic BMW algebras B2p+1,n are cellular in the sense of [16]. We also classify the irreducible B2p+1,nmodules over a field.

研究动机与目标

• 证明当 $ r $ 为奇数时，cyclotomic BMW 代数 $\mathscr{B}_{r,n}$ 在 [16] 的意义下是细胞代数。
• 在 $\mathbf{u}$-可允许条件下，对域上所有两两不同构的不可约 $\mathscr{B}_{r,n}$-模进行分类。
• 确定分类结果对 $ n $ 的奇偶性以及参数 $\omega_i$ 是否为零的依赖关系。
• 通过从商模中提升生成元并利用半标准表示，构造 $\mathscr{B}_{r,n}$ 的细胞基。

提出的方法

• 构造一类有理函数，类比于 [3] 中 cyclotomic Nazarov–Wenzl 代数的函数，以在特定条件下定义半标准表示。
• 利用 Wedderburn–Artin 定理，当半单时，建立 $\mathscr{B}_{r,n}$ 的秩的下界为 $ r^n(2n-1)!! $。
• 对奇数 $ r $ 构造 $\mathscr{B}_{r,n}$ 的商模，从而诱导出两侧行理想的滤子。
• 从这些商模中提升生成元，构造出作为 $ R $-模的 $\mathscr{B}_{r,n}$ 的大小为 $ r^n(2n-1)!! $ 的生成集 $ S $。
• 通过验证所构造生成元与商模结构的存在性，证明 $\mathscr{B}_{r,n}$ 是细胞代数。
• 应用细胞代数表示理论的结果，将不可约 $\mathscr{B}_{r,n}$-模与 Ariki–Koike 代数 $\mathscr{H}_{r,n-2f}$ 的模联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，cyclotomic BMW 代数 $\mathscr{B}_{r,n}$ 在 [16] 的意义下是细胞代数？
• RQ2 在 $\omega_i$ 和 $ n $ 的奇偶性变化下，$\mathscr{B}_{r,n}$ 的不可约表示如何变化？
• RQ3 当 $ r $ 为奇数时，域上所有两两不同构的不可约 $\mathscr{B}_{r,n}$-模的完整分类是什么？
• RQ4 半标准表示理论如何与 $\mathscr{B}_{r,n}$ 的胞模及双线性形式的结构相关联？
• RQ5 $\mathbf{u}$-可允许条件在保证胞模上非退化双线性形式存在方面起到什么作用？

主要发现

• 当 $ r = 2p+1 $ 为奇数时，cyclotomic BMW 代数 $\mathscr{B}_{2p+1,n}$ 在交换环 $ R $ 上是细胞代数，这是通过从商模构造的两侧行理想滤子所确立的。
• 当 $\mathscr{B}_{r,n}$ 在 $ R $ 上自由时，其秩恰好为 $ r^n(2n-1)!! $，该结论通过构造大小为该值的生成集得以证明。
• 不可约 $\mathscr{B}_{r,n}$-模由对 $ (f, \lambda) $ 索引，其中 $ 0 \leq f \leq \lfloor n/2 \rfloor $，且 $ \lambda $ 是 $ n-2f $ 的 $\mathbf{u}$-Kleshchev 多分拆，且在 $\mathbf{u}$-可允许条件下成立。
• 当 $ n $ 为偶数时，若存在某个 $ i \leq r-1 $ 使得 $ \omega_i \neq 0 $，则所有满足 $ f \leq n/2 $ 的 $ f $ 都参与分类；若所有 $ \omega_i = 0 $，则仅 $ f < n/2 $ 参与分类。
• 胞模 $\Delta(f,\lambda)$ 上的双线性形式 $\phi_{f,\lambda}$ 非退化，当且仅当 Ariki–Koike 代数上对应的双线性形式 $\phi_\lambda$ 非退化，但 $ f = n/2 $ 的情况除外。
• 当 $ n $ 为奇数时，分类包含从 $ 0 $ 到 $ \lfloor n/2 \rfloor $ 的所有 $ f $，且不可约模与 $ n-2f $ 的 $\mathbf{u}$-Kleshchev 多分拆之间存在双射关系。