[论文解读] The resolving number of a graph

Delia Garijo, Antonio González+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于计算图的解析数（resolving number），该参数与度量维数和解析集相关。与计算上为 NP-难的度量维数不同，解析数可被高效确定，作者通过图的结构属性（如围长、最大度数和团数）完全刻画了解析数为 3 的图。

ABSTRACT

We study a graph parameter related to resolving sets and metric dimension, namely the resolving number, introduced by Chartrand, Poisson and Zhang. First, we establish an important difference between the two parameters: while computing the metric dimension of an arbitrary graph is known to be NP-hard, we show that the resolving number can be computed in polynomial time. We then relate the resolving number to classical graph parameters: diameter, girth, clique number, order and maximum degree. With these relations in hand, we characterize the graphs with resolving number 3 extending other studies that provide characterizations for smaller resolving number.

研究动机与目标

• 建立解析数与度量维数之间的基本计算差异，表明前者可在多项式时间内计算，而后者为 NP-难。
• 将解析数与经典图参数（包括直径、围长、团数、阶数和最大度数）相关联。
• 利用结构约束和极值图性质，完全刻画所有连通图中解析数为 3 的图。
• 通过提供更紧的界和新的刻画方式，拓展先前关于度量维数和解析数的研究。

提出的方法

• 利用关键洞察：解析数是满足每个 k-子集均为解析集的最小整数 k。
• 运用图论结构推导出围长、最大度数和团数相对于解析数的界。
• 基于通过某顶点的 5-圈数量进行情况分析，以分类解析数为 3 的图。
• 利用顶点度数为 5 时其开邻域必为 5-圈的性质，识别极值图。
• 利用对围长为 3、4 或 5 的图的刻画，系统性地排除或确认可能的图族。
• 采用构造性算法方法，验证所识别图族中的所有图确实具有解析数 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的解析数是否可被多项式时间计算，与 NP-难的度量维数形成对比？
• RQ2 在解析数的表达下，图参数（如围长、最大度数和团数）的最紧界是什么？
• RQ3 哪些图的解析数恰好为 3，且可否通过结构属性完全刻画？
• RQ4 在计算复杂性和结构约束方面，解析数与度量维数有何不同？
• RQ5 对于给定的解析数，达到最大度数和围长界值的极值图是什么？

主要发现

• 图的解析数可在 O(n³) 时间内计算，确立了其相对于 NP-难的度量维数的关键计算优势。
• 解析数为 3 的图恰好为偶圈、星图 K₁,₃，以及图族 F₁ 和 F₂ 中的图，其中包含轮图 W₁,₅ 和一个含三个共享公共顶点的 5-圈的 10-顶点图。
• 解析数为 3 的图的最大度数 Δ(G) 至多为 5，且该界是紧的，由轮图 W₁,₅ 达到。
• 解析数为 3 的图的围长至多为 5，且存在围长为 5 的图，其在图族 F₂ 中被完全刻画。
• 当且仅当 G 同构于 K₁,₃ 或 F₁ 中含一个全域顶点的图时，团数 ω(G) 等于解析数。
• 对于解析数为 3 的图，阶数 n 受限于 10，且唯一达到 n=10 的图是 F₂ 中含三个通过公共顶点的 5-圈的图。