[论文解读] The Rezk Completion for Elementary Topoi

Kobe Wullaert, Niels van der Weide|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 0

一句话总结

本论文开发了一个模块化框架，将 Rezk 完成从范畴提升到具结构的范畴，并证明 Rezk 完成具有继承性至初等拓扑范畴，并在 UniMath 中形式化该方法。

ABSTRACT

The development of category theory in univalent foundations and the formalization thereof is an active field of research. Categories in that setting are often assumed to be univalent which means that identities and isomorphisms of objects coincide. One consequence hereof is that equivalences and identities coincide for univalent categories and that structure on univalent categories transfers along equivalences. However, constructions such as the Kleisli category, the Karoubi envelope, and the tripos-to-topos construction, do not necessarily give univalent categories. To deal with that problem, one uses the Rezk completion, which completes a category into a univalent one. However, to use the Rezk completion when considering categories with structure, one also needs to show that the Rezk completion inherits the structure from the original category. In this work, we present a modular framework for lifting the Rezk completion from categories to categories with structure. We demonstrate the modularity of our framework by lifting the Rezk completion from categories to elementary topoi in manageable steps.

研究动机与目标

• 使同一性与等价在结构层面上并存的无平凡基础成为动机。
• 解释为何标准构造可能不具备无平凡性而需要 Rezk 完成。
• 提出一种将 Rezk 完成通过具结构范畴搬运的模块化方法，确保所继承的结构。
• 演示 Rezk 完成提升到初等拓扑范畴及相关结构。
• 在 Rocq-UniMath 中提供形式化以支持在证明助手中的实际验证。

提出的方法

• 将 Rezk 完成作为通过弱同伦的范畴的无平凡完成来实现的 universal property。
• 使用双范畴与显示双范畴技术将 Rezk 完成提升到具结构的范畴。
• 发展显示的 universal arrows 理论以促进提升 biadjoints。
• 从范畴到有限完备范畴、笛卡尔封闭范畴、初等拓扑范畴，以及 W-拓扑的分步提升框架。
• 运用双范畴视角在 Cat_univ 内部化 universal property 为一个反射子双范畴。
• 将构造在 Rocq-UniMath 库中形式化，以契合无平凡基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Rezk 完成从朴素范畴提升到具附加结构的范畴？
• RQ2 在何种条件下 Rezk 完成继承可用的范畴论结构（极限、指数、子对象分类器等）？
• RQ3 是否存在一个模块化、双范畴的方法统一在多种具结构范畴设置中提升 Rezk 完成？
• RQ4 该提升框架是否可扩展到初等拓扑范畴及更广的 W-拓扑？
• RQ5 如何在 UniMath 与相关证明助手中对这些构造进行形式化？

主要发现

• 建立了一个将 Rezk 完成从范畴提升到具结构范畴的模块化框架。
• 在受控、逐步的方式下证明范畴的 Rezk 完成继承拓扑范畴的结构。
• 显示的双范畴与显示的 universal arrows 使 biadjoints 的模块化提升和结构传输成为可能。
• 该方法适用于有限极限/完备范畴、笛卡尔闭合范畴、初等拓扑范畴以及 W-拓扑。
• 在 Rocq-UniMath 库中的形式化支持了对无平凡基础的验证。