[论文解读] The Richardson's Annular effect and a transient solution of oscillating pressure-driven flow in circular pipes

F. Camacho, R. Martinez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于圆形管道中振荡压力驱动流的瞬态解析解，解决了标准解在初始条件上的不一致问题。该研究识别出理查森环状效应的过冲位置随时间的变化，并推导出一个半经验公式 $ B_0(\rho^*) = 2.28 + 0.51(\rho^*)^{-1/2} $，将过冲幅度与运动学雷诺数 $ \rho^* = \omega r_0^2 / \nu $ 关联起来。瞬态解在特征时间 $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $ 后收敛至稳态振荡状态，该时间尺度取决于流体粘度和管道半径。

ABSTRACT

In this paper it is shown that the location of the characteristic overshoot of the Richardson's annular effect changes with the Kinematic Reynolds number $ω^*=ωr_0^2 /ν$ in the range of frequencies within the laminar regime. From the study of the Richardson's overshoot at different times it was identified the existence of aparent transverse damped waves similar to those ones observed in the famous Stokes second problem, the physical analysis of this waves was used for the establishment of a semi-empirical law that gives the functional relation of the mean overshoot maximum with the kinematic reynolds number, say $B_0(ω^*)=2.28 + 0.51{ω^*}^{-1/2}$. Finally a transient solution was constructed and verified asymptotically for large times, and the tipical time for which the transient solution resembles the steady oscillating one was identified to be dependent of the viscosity of the fluid and of the radius of the pipe.

研究动机与目标

• 解决标准振荡流解在 t=0 时无法满足初始静止条件的不一致问题。
• 分析理查森环状效应的时间依赖行为，特别是靠近管壁的流速过冲位置的变化。
• 推导最大过冲幅度与运动学雷诺数 $ \omega^* $ 之间的半经验函数关系。
• 构建并验证一个渐近收敛于稳态振荡状态的瞬态解。
• 识别出瞬态解与稳态振荡解接近的特征时间尺度 $ \tau_1 $。

提出的方法

• 在轴向无依赖性和无滑移边界条件下，将柱坐标系下的轴向纳维-斯托克斯方程简化为一维扩散型方程。
• 通过压力梯度的傅里叶-贝塞尔级数展开，将振荡驱动力项表示为特征函数 $ J_0(j_n r^*) $ 的组合，其中 $ j_n $ 为 $ J_1 $ 的零点。
• 对展开系数 $ a_n(t) $ 求解得到的一阶常微分方程组，初始条件为 $ a_n(0) = 0 $，得到具有衰减指数形式的解。
• 通过模态叠加得到瞬态速度场：$ u(r^*,t) = 2K \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i\omega t} - e^{-\nu j_n^2 t / r_0^2}}{(i\omega + \nu j_n^2 / r_0^2) j_n J_1(j_n)} J_0(j_n r^*) $。
• 通过将傅里叶-贝塞尔级数与包含贝塞尔函数的闭式表达式进行比较，验证了瞬态解的渐近收敛性。
• 通过数值方法确认，当 $ N \to \infty $ 时，差值函数 $ D_{\omega}^N(r^*) $ 的实部和虚部均趋于零，从而验证了解的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定频率，理查森环状效应中流速过冲的位置如何随时间演变？
• RQ2 最大过冲幅度与运动学雷诺数 $ \omega^* $ 之间的函数关系是什么？
• RQ3 瞬态解收敛至稳态振荡解的特征时间尺度是什么？
• RQ4 能否为圆形管道中的振荡压力驱动流构建一个满足初始静止条件的解析瞬态解？
• RQ5 过冲动力学中观察到的阻尼横向波如何与经典斯托克斯第二问题相关联？

主要发现

• 理查森环状效应的过冲位置随时间移动，表明流场中存在阻尼横向波。
• 建立了一个半经验公式：$ B_0(\omega^*) = 2.28 + 0.51(\omega^*)^{-1/2} $，用于描述运动学雷诺数 $ \omega^* $ 下的平均过冲幅度。
• 通过傅里叶-贝塞尔级数构造的瞬态解满足初始静止条件，并渐近收敛至已知的稳态振荡解。
• 瞬态解趋近于稳态解的特征时间尺度被确定为 $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $，其中 $ j_1 \approx 3.8317 $，该时间尺度取决于流体粘度和管道半径。
• 数值验证表明，当项数 $ N \to \infty $ 时，傅里叶-贝塞尔级数解与闭式解之间的差值在实部和虚部均趋于零。
• 结果表明，衰减最慢的模态（对应 $ n=1 $）主导了瞬态衰减过程，从而定义了特征时间尺度 $ \tau_1 $。