[论文解读] The Riemann-Hilbert mapping for $\\mathfrak{sl}_2$ -systems over genus two curves

Gabriel Calsamiglia, Bertrand Deroin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文通过两种不同的分析与几何方法，证明了从亏格为二的黎曼曲面上不可约 $σ\mathfrak{sl}_2$-系统空间到 $σ\mathrm{SL}_2$-表示特征簇的黎曼-希尔伯特单值化映射是一个局部微分同胚。该结果在更高亏格下不成立，凸显了亏格二在全纯联络与单值表示几何中的特殊作用。

ABSTRACT

We prove in two different ways that the monodromy map from the space of irreducible $\\mathfrak{sl}_2$-differential-systems on genus two Riemann surfaces, towards the character variety of $\\mathrm{SL}_2$-representations of the fundamental group, is a local diffeomorphism. This is motivated by a question raised by \\'Etienne Ghys about Margulis' problem: existence of curves of negative Euler characteristic in compact quotients of $\\mathrm{SL}_2(\\mathbb{C})$.

研究动机与目标

• 确定不可约 $σ\mathfrak{sl}_2$-微分系统在亏格二黎曼曲面上的单值化映射的局部行为，映射到 $σ\mathrm{SL}_2$-表示特征簇。
• 通过单值表示解决埃蒂安·吉斯提出的问题，即在 $σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 商空间中是否存在负欧拉特征的曲线。
• 证明单值化映射在亏格大于二时不再是局部微分同胚，从而识别出亏格二为临界情形。
• 建立全纯 $σ\mathfrak{sl}_2$-系统、射影结构与表示模空间几何之间的联系。

提出的方法

• 通过将每个不可约 $σ\mathfrak{sl}_2$-系统对应的单值表示关联到 $σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表示特征簇，构造黎曼-希尔伯特单值化映射 $σ\mathrm{Mon}: \mathrm{Syst}^{\text{irr}} \to \Xi^{\text{irr}}$。
• 利用基本解的解析延拓来定义与系统 $A \in \mathfrak{sl}_2(\Omega^1(X))$ 相关的单值表示 $\rho_A$。
• 采用两种不同方法：一种基于分支射影结构的形变理论与全纯发展映射族，另一种基于全纯平凡化的全纯曲面丛几何。
• 利用分支射影结构的发展映射通过施瓦茨导数诱导出一个亚纯二次微分，该微分可下降到基曲线。
• 利用表示基上纤维丛的局部全纯平凡性，将局部模型拼接为射影结构的全局全纯形变。
• 通过证明非共轭表示产生不同的单值类，且发展映射在纤维上为单射，从而证明单值化映射的单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亏格二黎曼曲面上，不可约 $σ\mathfrak{sl}_2$-系统的黎曼-希尔伯特单值化映射是否为局部微分同胚？
• RQ2 单值化映射在更高亏格下是否仍为局部微分同胚，或因拓扑原因而失效？
• RQ3 能否利用亏格二曲线上全纯 $σ\mathfrak{sl}_2$-系统构造从该曲线到 $σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 紧致商空间的全纯映射？
• RQ4 施瓦茨导数在刻画亏格二曲线上分支射影结构形变中的作用是什么？
• RQ5 对偶对 $(X, \alpha)$ 的等周期形变如何与可约情形下非平凡的单值保持形变的存在性相关？

主要发现

• 在亏格二黎曼曲面上，黎曼-希尔伯茨单值化映射 $σ\mathrm{Mon}: \mathrm{Syst}^{\text{irr}} \to \Xi^{\text{irr}}$ 是一个局部微分同胚。
• 在亏格 $g \geq 3$ 时，单值化映射不再是局部微分同胚，通过在分支覆盖下从亏格二曲线拉回系统构造了明确的反例。
• 不可约性是单值化映射为局部微分同胚的必要条件，因为对角与幂零系统存在非平凡的等单值形变。
• 系统的单值类在规范变换 $A \mapsto MAM^{-1}$ 下保持不变，这为在 $\mathrm{Syst}$ 的定义中对 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 商提供了合理性。
• $\mathrm{Syst}^{\text{irr}}$ 与 $\Xi^{\text{irr}}$ 是复解析流形，维数为 $6g - 6$，在亏格二时为 6。
• 分支射影结构模空间 $\mathcal{M}_k$ 的点可分离性源于全纯族中施瓦茨导数极限的唯一性，从而推出 $\mathcal{M}_k$ 是豪斯多夫空间。