[论文解读] The Riemann Hypothesis for Angular Lattice Sums

Ross C. McPhedran, L. C. Botten+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出了一种快速收敛的公式，用于计算涉及复指数和格点角度三角函数的角格点和。证明了对于一类此类和 $\mathcal{C}(1,4m;s)$，黎曼假设成立当且仅当黎曼ζ函数与卡塔兰β函数的乘积满足黎曼假设，并表明它们在临界线上具有相同的零点分布。

ABSTRACT

We present further results on a class of sums which involve complex powers of the distance to points in a two-dimensional square lattice and trigonometric functions of their angle, supplementing those in a previous paper (McPhedran {\em et al}, 2008). We give a general expression which permits numerical evaluation of members of the class of sums to arbitrary order. We use this to illustrate numerically the properties of trajectories along which the real and imaginary parts of the sums are zero, and we show results for the first two of a particular set of angular sums (denoted ${\cal C}(1,4 m;s)$) which indicate their density of zeros on the critical line of the complex exponent is the same as that for the product (denoted ${\cal C}(0,1;s)$) of the Riemann zeta function and the Catalan beta function. We then introduce a function which is the quotient of the angular lattice sums ${\cal C}(1,4 m;s)$ with ${\cal C}(0,1;s)$, and use its properties to prove that ${\cal C}(1,4 m;s)$ obeys the Riemann hypothesis for any $m$ if and only if ${\cal C}(0,1;s)$ obeys the Riemann hypothesis. We furthermore prove that if the Riemann hypothesis holds, then ${\cal C}(1,4 m;s)$ and ${\cal C}(0,1;s)$ have the same distribution of zeros on the critical line (in a sense made precise in the proof).

研究动机与目标

• 开发一种数值高效、指数收敛的角格点和计算方法，适用于复指数。
• 研究角格点和在临界线 $\Re(s) = 1/2$ 上的零点分布。
• 建立 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 的黎曼假设与乘积 $\zeta(s)\beta(s)$ 的函数等价性。
• 证明在黎曼假设成立的前提下，$\mathcal{C}(1,4m;s)$ 的零点分布与 $\zeta(s)\beta(s)$ 完全一致。

提出的方法

• 利用复分析与格点和正则化方法，推导出角格点和 $\mathcal{C}(n,m;s)$ 与 $\mathcal{S}(n,m;s)$ 的一般绝对收敛表达式。
• 通过 Mathematica 7.0.1 进行数值计算，以追踪实部与虚部为零的轨迹。
• 引入商函数 $\Delta_{4}(2,4;s)$，定义为 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 与 $\mathcal{C}(0,1;s)$ 的比值，以分析其零点与极点结构。
• 应用围道积分与恒定相位线上的相位分析，证明临界线上极点与零点交替出现。
• 利用角和的函数方程与对称性，将其行为与狄利克雷 $L$-函数联系起来。
• 证明 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 在临界线上的零点密度与 $\zeta(s)\beta(s)$ 到主导阶一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 角格点和 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 在临界线 $\Re(s) = 1/2$ 上的零点密度是否与 $\zeta(s)\beta(s)$ 相当？
• RQ2 是否 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 的黎曼假设等价于 $\zeta(s)\beta(s)$ 的黎曼假设？
• RQ3 在复 $s$-平面上恒定相位的闭合围道上，零点与极点的分布如何？
• RQ4 和的实部与虚部为零的轨迹行为如何，特别是在临界带之外？
• RQ5 商函数 $\Delta_{4}(2,4;s)$ 是否可用于证明 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 与 $\mathcal{C}(0,1;s)$ 之间零点分布与假设有效性的一致性？

主要发现

• 角格点和 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 在临界线 $\Re(s) = 1/2$ 上的零点密度与乘积 $\zeta(s)\beta(s)$ 到主导阶一致。
• 对于 $\Delta_{4}(2,2;s)$，平均单元长度为 3.92，标准差为 0.53，且在无穷远处极点与零点的平均间距约为 3.90。
• 对于 $\Delta_{4}(2,4;s)$，平均单元长度为 3.92，标准差为 0.53，且在无穷远处极点与零点的平均间距约为 3.90。
• 商函数 $\Delta_{4}(2,4;s)$ 被证明是亚纯函数，其极点与零点在临界线上交替出现，支持了零点分布的等价性。
• 黎曼假设对 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 成立当且仅当对 $\mathcal{C}(0,1;s) = 4\zeta(s)L_{-4}(s)$ 成立，从而建立了函数等价性。
• 当黎曼假设成立时，通过相位与围道分析证明，$\mathcal{C}(1,4m;s)$ 与 $\mathcal{C}(0,1;s)$ 在临界线上具有完全相同的零点分布函数。