[论文解读] The Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction and its vanishing pressure limit

Qingling Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为具有库仑型摩擦的Chaplygin压力Aw-Rascle模型构造了显式黎曼解，表明摩擦项使特征线和间断面弯曲成抛物线形状，破坏了解的自相似性。证明了当压力趋于零时，解收敛于具有相同源项的相应运输方程的解，通过集中与空化机制出现δ激波和真空态。

ABSTRACT

The Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction is constructed explicitly and its vanishing pressure limit is analyzed precisely. It is shown that the delta shock wave appears in the Riemann solutions in some certain situations. The generalized Rankine-Hugoniot conditions of the delta shock wave are established and the exact position, propagation speed and strength of the delta shock wave are given explicitly, which enables us to see the influence of the Coulomb-like friction on the Riemann solution to the Chaplygin pressure Aw-Rascle model clearly. It is shown that the Coulomb-like friction term makes contact discontinuities and delta shock waves bend into parabolic shapes and the Riemann solutions are not self-similar anymore. Finally, the occurrence mechanism on the phenomenon of concentration and cavitation and the formation of delta shock wave and vacuum in the process of vanishing pressure limit are analyzed and identified in detail. Moreover, we show the Riemann solutions to the nonhomogeneous Chaplygin pressure Aw-Rascle model converge to the Riemann solutions to the transportation equations with the same source term as the pressure vanishes. These two results generalize those obtained in [7,38] for homogeneous equations to nonhomogeneous equations and are also applicable to the nonsymmetric system of Keyfitz-Kranzer type with the same Chaplygin pressure and Coulomb-like friction.

研究动机与目标

• 为具有库仑型摩擦的Chaplygin压力Aw-Rascle模型构造显式黎曼解。
• 分析压力趋于零的极限及其对解结构的影响。
• 识别在极限下δ激波和真空态的形成机制。
• 建立非齐次Chaplygin模型的解向具有相同源项的相应运输方程的黎曼解的收敛性。

提出的方法

• 利用δ激波的广义Rankine-Hugoniot条件显式构造黎曼解。
• 推导δ激波位置、传播速度和强度的精确表达式。
• 使用变量变换 $ x \to x - \frac{1}{2}\beta t^2 $, $ u \to u - \beta t $ 将非齐次解与齐次解关联起来。
• 分析压力趋于零的极限 $ A \to 0 $，以研究解向零压流解的收敛性。
• 识别通过集中与空化机制形成δ激波和真空态的条件。
• 应用广义势方法，并分析接触间断面在摩擦作用下的抛物线形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 库仑型摩擦项如何影响Chaplygin压力Aw-Rascle模型中黎曼解的结构与自相似性？
• RQ2 在该模型的带摩擦黎曼解中，δ激波在何种条件下形成？
• RQ3 在库仑型摩擦下，δ激波的精确传播行为与强度为何？
• RQ4 黎曼解在压力趋于零的极限 $ A \to 0 $ 下如何表现？
• RQ5 当压力趋于零时，非齐次Chaplygin模型的黎曼解是否收敛于具有相同源项的相应运输方程的解？

主要发现

• 当 $ A \leq A_0 $ 时，δ激波出现在黎曼解中，其位置 $ x(t) $、速度 $ \sigma(t) $ 和强度均导出精确表达式。
• 库仑型摩擦使接触间断面和δ激波弯曲成抛物线形状，破坏了解的自相似性。
• 当 $ A \to 0 $ 时，黎曼解收敛于具有相同源项的运输方程的解，包括δ激波和真空态。
• δ激波的传播速度满足 $ \sigma(t) \to \sigma + \beta t $，其中 $ \sigma = \frac{\sqrt{\rho_-}u_- + \sqrt{\rho_+}u_+}{\sqrt{\rho_-} + \sqrt{\rho_+}} $（当 $ \rho_- \neq \rho_+ $ 时）。
• 当 $ \rho_- = \rho_+ $ 时，δ激波速度收敛于 $ \frac{1}{2}(u_+ + u_-) + \beta t $，与具有摩擦的运输方程的已知解一致。
• δ激波和真空态的形成归因于压力趋于零极限下的集中与空化机制，通过解结构的详细分析得到证实。