[论文解读] The Riemann Zeta-Function and Hecke Congruence Subgroups. II

Yoichi Motohashi|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文对加权平均值 $ M_2(g;A) = \int_{-\infty}^{\infty} |\zeta(1/2 + it)|^4 |A(1/2 + it)|^2 g(t) dt $ 进行了严格的谱分解，其中 $ A(s) $ 是在无平方因子整数上具有紧支集的有限狄利克雷级数。研究证明，相关的梅林变换 $ Z_2(s;A) $ 在 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上具有无穷多个单极点，为黎曼 zeta 函数的六阶矩 $ Z_3(s;1) $ 的临界线作为自然边界提供了明确证据。

ABSTRACT

This is a rework of our old file, which has been left unpublished since September 1994, on an explicit spectral decomposition of the fourth power moment of the Riemann zeta-function against a weight which is the square of a Dirichlet polynomial. At this occasion we add an explicit treatment of generalized Kloosterman sums associated with arbitrary Hecke congruence subgroups (Section 15), which might have an independent interest. At the end (Section 36) of our discussion, we set out a few problems on the distribution of eigenvalues of the hyperbolic Laplacian, which appear to us to be related to the nature of the sixth power moment of the Riemann zeta-function. The contents of this work were presented in a worshop at RIMS Kyoto University on October 18, 2007. In this second version, some corrections are made in the part on generalized Kloosterman sums, and in Addendum a mention is made concerning a recent work by C.P. Hughes and M.P. Young (0709.2345).

研究动机与目标

• 对梅林变换 $ Z_2(s;A) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 t^{-s} dt $ 提供严格的处理，该问题在早期研究中仅部分解决。
• 通过基于黎曼 zeta 函数性质的显式方法，研究加权第四矩的谱分解。
• 通过分析介于第四与第六矩之间的 $ Z_2(s;A) $，为理解第六矩 $ M_3(g;1) $ 奠定基础。
• 证明 $ Z_2(s;A) $ 在 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上具有无穷多个单极点，暗示 $ Z_3(s;1) $ 的临界线为自然边界。
• 为未来关于 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 的谱理论研究提供动机，将第六矩与 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 的实秩 2 结构联系起来。

提出的方法

• 通过公式 $ M_2(g;A) = \sum_{a,b,c\atop{(a,b)=1}} \frac{\alpha_{ac} \overline{\alpha_{bc}}}{c\sqrt{ab}} I_2(g;b/a) $ 推导出 $ M_2(g;A) $ 的显式谱分解，其中 $ I_2 $ 涉及 zeta 函数的四次方。
• 引入多变量积分 $ I(u,v,w,z;g;b/a) = -i \int_{(0)} \zeta(u+t)\zeta(v-t)\zeta(w+t)\zeta(z-t) (b/a)^t g(-it) dt $，其在 $ \mathbb{C}^4 $ 上亚纯，并通过围道移动推导其解析延拓。
• 应用近似函数方程将 $ |\zeta(1/2+it)|^2 $ 表示为关于 $ c,d $ 的有限和，从而将平均值分解为谱项与非谱项。
• 通过在 $ \Gamma_0(cd) $ 上对自守形式求和分析谱贡献，使用谱测度 $ \frac{h(\kappa_j)}{\cosh \pi \kappa_j} $ 和梅林变换 $ R_j(1/2,0) $。
• 应用驻定相位法与围道积分控制非谱项 $ \mathcal{H}_a $，证明当 $ a=5,6,7 $ 时其可忽略不计。
• 利用 $ \mathcal{D}_3^3(u,v;h) $ 的显式公式与柯西积分公式，证明 $ \mathcal{H}_7 $ 可忽略，从而得出主要渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权第四矩 $ |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 $ 的梅林变换 $ Z_2(s;A) $ 是否在临界线 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上具有极点？
• RQ2 对 $ M_2(g;A) $ 的谱分解能否为第六矩的梅林变换 $ Z_3(s;1) $ 的临界线作为自然边界提供证据？
• RQ3 满足 $ \kappa^2 + 1/4 \in \mathrm{Sp}(\Gamma_0(cd)) $ 的谱参数 $ \kappa $ 的集合是否在正实轴上稠密？
• RQ4 用于 $ Z_2(s;A) $ 的方法能否扩展至检测 $ Z_3(s;1) $ 中靠近 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 的低极点？
• RQ5 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 的谱结构如何与 zeta 函数六阶矩所预期的双重积分结构相关联？

主要发现

• 在 $ \alpha_n $ 支集于无平方因子整数且 $ \alpha_n > 0 $ 的条件下，梅林变换 $ Z_2(s;A) $ 在直线 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上具有无穷多个单极点。
• 谱和 $ \sum_{\kappa} \mathcal{R}(\kappa;A) \frac{h(\kappa)}{\cosh \pi \kappa} \sim \frac{8}{3\pi^{3/2}} G K^3 (\log K)^3 \sum_{c,d} \mathcal{A}(c,d) \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $，其中 $ \mathcal{A}(c,d) $ 由 $ A $ 的傅里叶系数定义。
• 非谱项 $ \mathcal{H}_5, \mathcal{H}_6, \mathcal{H}_7 $ 对平均值的贡献为 $ \ll K^{7/2} (\log K)^7 $，与主项 $ K^3 (\log K)^3 $ 相比可忽略不计。
• 谱和渐近正比于 $ G K^3 (\log K)^3 \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $，其中 $ G $ 为依赖于权函数 $ g $ 与水平 $ cd $ 的常数。
• 该结果首次提供了明确证据，表明 $ Z_3(s;1) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^6 t^{-s} dt $ 的临界线 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 为自然边界。
• 该方法表明，六阶矩应可表示为双重积分，反映 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 的实秩 2 结构，类似于第四矩由 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 产生的单重积分结构。