[论文解读] The Riemann-zeta function on vertical arithmetic progressions

Xiannan Li, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了黎曼ζ函数在垂直等差数列 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ 上的二阶矩，渐近等价于 $\mathbb{R}$ 上的连续平均值，其中存在一个依赖于 $\alpha$ 的丢番图性质的修正因子 $\delta(\alpha,\beta)$。关键的是，当通过一个截断器（mollifier）进行扭曲时，这种依赖关系消失，从而在等差数列上实现了强零点密度与极端值结果。

ABSTRACT

We show that the twisted second moments of the Riemann zeta function averaged over the arithmetic progression $1/2 + i(an + b)$ with $a > 0$, $b$ real, exhibits a remarkable correspondance with the analogous continuous average and derive several consequences. For example, motivated by the linear independence conjecture, we show at least one third of the elements in the arithmetic progression $a n + b$ are not the ordinates of some zero of $ζ(s)$ lying on the critical line. This improves on earlier work of Martin and Ng. We then complement this result by producing large and small values of $ζ(s)$ on arithmetic progressions which are of the same quality as the best $Ω$ results currently known for $ζ(1/2 + it)$ with $t$ real.

研究动机与目标

• 理解 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ 沿垂直等差数列的取值分布。
• 确定 $\zeta(s)$ 在此类序列上的二阶矩是否显著偏离 $\mathbb{R}$ 上的连续平均值。
• 研究狄利克雷多项式扭曲（尤其是截断器）在离散等差序列上的行为，是否与 $t \in \mathbb{R}$ 上的连续情形类似。
• 将这些结果应用于线性独立性猜想，特别是界定临界线上可能为 $\zeta(s)$ 零点的点的比例。

提出的方法

• 利用近似函数方程与冯·柯赫求和公式分析等差数列上 $\zeta(s)$ 的二阶矩。
• 引入一个修正因子 $\delta(\alpha, \beta)$，以捕捉 $e^{2\pi\ell/\alpha}$ 的丢番图性质，取决于其是有理数还是无理数。
• 应用光滑权函数 $\phi(\ell/T)$ 将求和局部化至 dyadic 区间 $[T, 2T]$。
• 使用截断器 $M_\theta(s)$ 抑制振荡并实现二阶矩中的抵消，使主项与连续积分一致。
• 通过除数和与指数和的界估计误差项，利用条件 $|a_\ell/b_\ell - e^{2\pi\ell/\alpha}| \leq e^{2\pi\ell/\alpha}/T^{1-\eta}$。
• 利用数论条件如 $ha_\ell \mid kb_\ell m$ 将 $m,n$ 上的双重求和约化为单重求和，并通过 zeta 函数恒等式进行估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\ell \in [T, 2T]$ 上，$\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ 的二阶矩是否与连续积分 $\int_T^{2T} |\zeta(\frac{1}{2} + it)|^2 dt$ 显著不同？
• RQ2 $\alpha$ 和 $\beta$ 的丢番图性质如何影响二阶矩？这种影响能否通过 $\delta(\alpha, \beta)$ 量化？
• RQ3 即使 $\alpha, \beta$ 是不良逼近的数，经截断器扭曲后的二阶矩 $\sum |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)) M_\theta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2$ 是否仍能逼近连续平均值？
• RQ4 是否可以利用 $\zeta(s)$ 在等差数列上的行为，排除临界线上正比例的点 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ 为 $\zeta(s)$ 的零点？
• RQ5 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ 的极端值大小是否与实数 $t$ 对应的 $\zeta(\frac{1}{2} + it)$ 的极端值相当？

主要发现

• 在 $\ell \in [T, 2T]$ 上，$\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ 的二阶矩满足 $$ \sum_{\ell} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2 \phi(\ell/T) = \left(1 + \delta(\alpha, \beta) + o(1)\right) \int_{\mathbb{R}} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt, $$ 其中 $\delta(\alpha, \beta)$ 捕获了丢番图依赖性。
• 当通过截断器 $M_\theta(s)$ 扭曲时，二阶矩 $\mathcal{J}$ 满足 $$ \mathcal{J} = \int_{\mathbb{R}} |(\zeta M_\theta)(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt + O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right), $$ 且与 $\delta(\alpha, \beta)$ 无关。
• 临界线上至少有三分之一的点 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ 不是 $\zeta(s)$ 的零点，优于 Martin 和 Ng 的结果。
• 本文构造了 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ 的极大值与极小值，其 $\Omega$-阶与实数 $t$ 情形下已知的最佳结果一致，确认了极端行为在等差数列上得以保持。
• 若对所有 $\ell > 0$，$e^{2\pi\ell/\alpha}$ 为无理数，则修正因子 $\delta(\alpha, \beta)$ 为零；否则，其为 $\cos(\beta \log(m/n))$ 的有理函数，其中 $m/n \neq 1$ 为最小的此类有理数。
• 截断后矩的误差项为 $O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right)$，几乎最优，使得其在零点区域与值分布研究中具有强应用潜力。