[论文解读] The Riemannian Hebbarkeitss\"atze for pseudorigid spaces

João Lourenço|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文建立了在混合特征的完备离散赋值环 $\mathcal{O}_K$ 上的伪刚性空间的黎曼可去奇点定理——可去奇点定理。通过在伪仿射代数上进行范数理论计算，并引入诺特归化定理的伪刚性类比，作者证明了：在余维数 $\geq 1$ 的闭子集上，局部有界函数可唯一延拓；在余维数 $\geq 2$ 时，全纯函数可延拓。这些结果通过解析方法重新证明了德容关于 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式形式概形的全局截面定理。

ABSTRACT

We prove Riemann's theorems on extensions of functions over certain mixed characteristic analytic adic spaces, first introduced by Johansson and Newton. We use these results to reprove a theorem of de Jong identifying global sections of an $\mathcal{O}_K$-flat normal formal scheme, locally formally of finite type over $\mathcal{O}_K$, with locally powerbounded sections over the generic fibre.

研究动机与目标

• 将经典的黎曼可去奇点定理（关于在解析奇点上全纯函数的延拓）推广至混合特征的解析 adic 空间。
• 建立伪刚性空间的理论，作为研究混合特征下 $\mathcal{O}_K$-平坦形式概形的框架。
• 通过解析技术，重新证明德容定理：即 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形的全局截面同构于其一般纤维上的局部有界函数。

提出的方法

• 将问题约化至在 $\mathcal{O}_K$ 上的正规伪刚性空间 $X = \mathrm{Spa}\, A$ 的情形，其中 $A$ 是 $\mathcal{O}_K$-平坦的正规伪仿射代数，且奇点集 $Z$ 位于特殊纤维中。
• 直接计算基本伪仿射代数 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 中的范数，其中 $D_n = \mathcal{O}_K[[T]]\langle \pi/T^n \rangle[1/T]$，以验证基础情形下的可去奇点定理。
• 将诺特归化引理推广至伪刚性情形：将 $k((T))$-仿射代数之间的有限单射提升为 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上的伪仿射代数之间的有限单射。
• 发展全纯函数与有界函数的传递引理，作为吕特克鲍默特引理的类比，从而实现跨奇点的函数延拓。
• 利用泽里斯基主定理与形式函数定理，将全局延拓问题约化至主理想定义的情形。
• 应用第一个可去奇点定理及关于解析点的拓扑结果，重新证明形式概形的全局截面定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼的经典可去奇点定理能否推广至混合特征的解析 adic 空间？
• RQ2 在 $\mathcal{O}_K$ 上的正规伪刚性空间中，若闭子集 $Z$ 满足 $\mathrm{codim}_X Z \geq 1$，则其补集上的局部有界函数是否能唯一延拓至整个空间？
• RQ3 若 $\mathrm{codim}_X Z \geq 2$，则其补集上的全纯函数是否能唯一延拓至整个空间？
• RQ4 能否通过伪刚性空间上的解析方法重新证明德容关于 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形的全局截面定理？
• RQ5 从 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形到三元组（一般纤维、完美化特殊纤维、特殊化映射）的函子是否是满的？

主要发现

• 第一个可去奇点定理成立：若 $X$ 是 $\mathcal{O}_K$ 上的正规伪刚性空间，且 $Z \subset X$ 是泽里斯基闭子集满足 $\mathrm{codim}_X Z \geq 1$，则限制映射 $\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X \setminus Z)$ 是环的同构。
• 第二个可去奇点定理成立：若 $\mathrm{codim}_X Z \geq 2$，则限制映射 $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X \setminus Z)$ 是环的同构。
• 建立了伪刚性类比的诺特归化定理：给定一个 $k((T))$-仿射代数之间的有限单射，当 $n$ 足够大时，可将其提升为 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上伪仿射代数之间的有限单射。
• 一个 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形 $X$（在 $\mathcal{O}_K$ 上局部有限类型）的全局截面，同构于其一般纤维 $X_\eta$ 上的局部有界函数环，该结果通过第一个可去奇点定理及关于解析点的拓扑结果得到证明。
• 函子 $F: C \to D$ 将形式概形 $X$ 映射到三元组 $(X_\eta, (X_{\text{red}})^{\text{perf}}, \mathrm{sp}_X)$，当 $k$ 代数闭时是满的，从而从一般纤维与特殊纤维中恢复了 $X$ 的整结构。
• 特殊化映射 $\mathrm{sp}_X: |X| \to |X_{\text{red}}|$ 是良定义且函子性的，在赋值环情形下与经典特殊化一致，推广了先前的定义。