[论文解读] The rigidity of embedded constant mean curvature surfaces

William H. Meeks, Giuseppe Tinaglia|ArXiv.org|Jan 22, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了ℝ³中具有有限亏格的完备、嵌入式常平均曲率（CMC）曲面的刚性，证明其内在等距映射要么扩展为ℝ³的环境等距，要么生成其等距群的二阶子群。关键结果是，此类曲面——尤其是极小曲面（除螺旋面外）和具有有界高斯曲率的CMC曲面——具有刚性，即其等距嵌入到ℝ³中在合同变换下唯一。

ABSTRACT

We study the rigidity of complete, embedded constant mean curvature surfaces in R^3. Among other things, we prove that when such a surface has finite genus, then intrinsic isometries of the surface extend to isometries of R^3 or its isometry group contains an index two subgroup of isometries that extend.

研究动机与目标

• 建立ℝ³中具有有限亏格的完备、嵌入式常平均曲率（CMC）曲面的刚性结果。
• 解决关于CMC曲面等距嵌入在合同变换下唯一性的长期悬而未决的猜想。
• 通过证明此类曲面的内在对称性可扩展为ℝ³的环境对称性，拓展等距浸入理论。
• 证明有限亏格CMC曲面的等距群要么完全扩展到ℝ³，要么其子群的指数为二。
• 通过Delaunay曲面在无穷远处的动力学，为理解嵌入CMC曲面的整体几何奠定基础。

提出的方法

• 利用先前工作[14]中的动力学定理与极小元素定理，分析CMC曲面的渐近几何。
• 应用单连通CMC曲面的共形族等距浸入理论，研究非合同的形变。
• 通过在万有覆盖面上对测地线圆计算曲率与扭转，证明某些角度下共形族浸入无法良好定义。
• 分析平移后的环形区域在无穷远处收敛于嵌入Delaunay曲面的性质，以排除非合同的浸入。
• 利用单连通CMC曲面等距浸入的分类，结合拓扑与曲率约束，推导出刚性。
• 应用嵌入Delaunay曲面具有刚性的事实，利用共形族中角度参数θ的显式曲率与扭转公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℝ³中完备、嵌入式CMC曲面的等距嵌入在合同变换下唯一？
• RQ2 ℝ³中有限亏格CMC曲面的内在等距能否扩展为环境空间ℝ³的等距？
• RQ3 当CMC曲面的等距无法扩展到ℝ³时，其等距群的结构如何？
• RQ4 CMC曲面的渐近行为——特别是收敛于Delaunay曲面——如何约束其刚性？
• RQ5 曲率有界性与拓扑有限性（有限亏格）在多大程度上可保证ℝ³中嵌入CMC曲面的刚性？

主要发现

• 有限亏格刚性定理表明，ℝ³中除螺旋面外，任何完备、嵌入式极小曲面若具有有限亏格，则具有刚性。
• 对于具有有界高斯曲率和有限亏格的完备、嵌入式CMC曲面，其在ℝ³中的等距嵌入在合同变换下唯一。
• 有限亏格等距扩展定理表明，此类曲面的任意内在等距要么可扩展为ℝ³的环境等距，要么其平方可扩展。
• 若某等距无法扩展至ℝ³，则该曲面的等距群包含一个指数为二的子群，其元素均可扩展。
• 证明的关键在于：对于收敛于Delaunay曲面的环形区域，角度在(0, 2π)范围内的共形浸入无法良好定义，原因在于测地线圆的像具有不同的端点。
• 在万有覆盖面上，测地线圆的显式曲率与扭转公式表明，共形浸入下的像为具有不同端点的螺旋线或圆，从而排除其良好定义的可能性。