[论文解读] The ring of arithmetical functions with unitary convolution: Divisorial and topological properties

Jan Snellman|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了单位卷积下算术函数环与可数个变量的幂级数环商环之间的同构关系，通过自然范数对环进行拓扑化，并证明所有理想均为拟有限。文章展示了原子性、有界因子分解长度以及大量正则非单位元的存在性，同时表明在平方自由整数上支撑的函数子环是可缩的，且同构于一个单项式商环。

ABSTRACT

We study the ring of arithmetical functions with unitary convolution, giving an isomorphism to a generalized power series ring on infinitely many variables, similar to the isomorphism of Cashwell-Everett between the ring of arithmetical functions with Dirichlet convolution and the power series ring on countably many variables. We topologize it with respect to a natural norm, and shove that all ideals are quasi-finite. Some elementary results on factorization into atoms are obtained. We prove the existence of an abundance of non-associate regular non-units.

研究动机与目标

• 研究单位卷积下算术函数环的代数与拓扑结构。
• 在该环与无穷多个变量的广义幂级数环之间建立同构关系。
• 通过自然范数对环进行拓扑化，并证明所有理想均为拟有限。
• 分析因子分解性质，包括有界因子分解长度以及正则非单位元的存在性。
• 证明在平方自由整数上支撑的函数子环是可缩的，且同构于一个单项式商环。

提出的方法

• 通过条件 $ f \oplus g(n) = \sum_{d \lvert\lvert n} f(d)g(n/d) $ 定义单位卷积，其中 $ d \lvert\lvert n $ 表示 $ d $ 是 $ n $ 的单位因子。
• 在 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 与 $ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ 之间构造同构，其中 $ J $ 是非平方自由单项式的理想。
• 引入范数 $ |f| = 1 / \min\{k : f(k) \neq 0\} $，使得 $ (\mathcal{A}, |\cdot|) $ 成为一个赋范环。
• 证明在 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 中，每个理想均为拟有限，即存在序列 $ (e_k) $ 满足 $ |e_k| \to 0 $，使得每个元素均可表示为收敛级数 $ \sum c_k e_k $。
• 利用素数幂分解结构，证明每个 $ e_n $ 可唯一表示为 $ e_{p^a} $ 的单位卷积积，从而实现单项式同构。
• 证明在平方自由整数上支撑的子环 $ \mathfrak{C} $ 是 $ \mathbb{C} $-子代数，且在投影映射 $ p(f) $ 下为可缩子环。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位卷积下的算术函数环是否同构于可数个变量的幂级数环的商环？
• RQ2 该环上的自然范数是否使所有理想均为拟有限？
• RQ3 对任意给定元素，其原子分解的长度是否为有界的？
• RQ4 环中是否存在大量正则非单位元？
• RQ5 在平方自由整数上支撑的函数子环是否为全环在单位卷积下的可缩子环？

主要发现

• 环 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 同构于 $ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $，其中 $ J $ 是非平方自由单项式的理想。
• 在给定范数下，$ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 中的所有理想均为拟有限。
• 该环是原子的，且所有元素均具有有界因子分解长度。
• 存在大量正则非单位元，且该环不是半因子分解唯一性环、有限因子分解环、弱有限因子分解环，也不是原子的idf-环。
• 在平方自由整数上支撑的子环 $ \mathfrak{C} $ 是 $ \mathcal{A} $ 的可缩子环，且 $ \mathfrak{C} \simeq \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $。
• 任何在 $ \mathfrak{C} $ 中的单位的乘法逆元也属于 $ \mathfrak{C} $，且 $ \mathfrak{C} $ 是半局部环，具有唯一的非单位极大理想。