[论文解读] The Ring of Graph Invariants - Graphic Values

Tomi Mikkonen|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入 $G$-偏序集以研究图不变量环，聚焦于子图计数不变量及其代数依赖关系。通过小规模 $G$-偏序集导出的不等式，建立了弱与强意义下的'图值'概念；证明在特定限制下，由不变量重构图是 NP-完全问题；并将拉姆齐数问题重新表述为可调节维度的整数多面体问题。

ABSTRACT

The ring of graph invariants is spanned by the basic graph invariants which calculate the number of subgraphs isomorphic to a given graph in other graphs. These subgraphs counting invariants are not algebraically independent. In our view the most important problem in graph theory of unlabeled graphs is the problem of determining graphic values of arbitrary sets of graph invariants. This corresponds to explaining the syzygy of the graph invariants when the number of vertices is unbounded. We introduce two methods to explore this complicated structure. Sets of graphs with a small number of vertices impose constraints on larger sets. We describe families of inequalities of graph invariants. These inequalities allow to loop over all values of graph invariants which look like graphic from the small sets point of view. We also develop strong notion of graphic values where the existence of the corresponding graphs is guaranteed once the constraints are satisfied by the basic graph invariants. These constraints are necessary and sufficient for graphs whose local neighborhoods are generated by a finite set of locally connected graphs. The reconstruction of the graph from the basic graph invariants is shown to be NP-complete in this restricted case. Finally we apply these results to formulate the problem of Ramsey numbers as an integer polyhedron problem of moderate and adjustable dimension.

研究动机与目标

• 通过分析其关系式与依赖关系，理解图不变量的代数结构。
• 解决一个基本问题：哪些不变量组合对应于实际存在的图——即‘图值’。
• 建立一个框架，以区分弱图值（由小规模 $G$-偏序集保证可行）与强图值（由约束条件保证存在）。
• 通过将拉姆齐数问题重新表述为整数规划问题，建立图不变量与拉姆齐理论的联系。
• 研究从基本不变量重构图的复杂性，证明在特定限制下该问题是 NP-完全的。

提出的方法

• 使用 $G$-偏序集 $\mathcal{E}(n)$ 来组织基本图不变量，用于计数同构于给定图的子图。
• 采用 $E$-变换矩阵 $E = (e_{ij}) = I(g_j)(g_i)$ 编码图之间的子图计数关系。
• 应用逆矩阵 $B = E^{-1}$ 推导不变量之间的线性关系，从而实现关系式的计算。
• 从小型 $G$-偏序集（$\mathcal{E}(4)$, $\mathcal{E}(5)$）导出不等式族，以定义弱图值。
• 通过图的局部邻域结构由有限个局部连通图生成的必要与充分条件，引入强图值。
• 通过使用幂和 $\sigma_e^v$ 参数化不变量，将拉姆齐数问题约化为整数多面体问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 证明拉姆齐数上界所需的最小 $G$-偏序集 $\mathcal{E}(r)$ 是什么？
• RQ2 局部参数 $z(i)$, $z(i_1,i_2)$ 等是否能增强对 $r(4)$ 或 $r(5)$ 的约束？
• RQ3 是否可利用重构定理与 $G$-偏序集约束推导出拉姆齐数的新下界？
• RQ4 一般图不变量中 $\sigma_e^v$ 参数之间的关系结构应如何刻画？
• RQ5 从基本不变量重构图的计算复杂性如何？其随图规模增长的规律是怎样的？

主要发现

• 对 $\mathcal{E}(4)$ 的 $E$-变换矩阵 $E$ 成功证明了 $r(3) \leq 6$，而 $\mathcal{E}(5)$ 不足以证明 $r(4) \leq 18$。
• 弱图值通过小型 $G$-偏序集导出的不等式定义，但不保证存在对应的实际图。
• 强图值由图的局部邻域由有限个局部连通图生成的必要与充分条件刻画。
• 在局部邻域结构有限的限制条件下，从基本不变量重构图是 NP-完全问题。
• 通过 $\sigma_e^v$ 参数，可将拉姆齐数问题重新表述为中等维度且可调节的整数多面体问题。
• 计算 $r(5)$ 的关系式需要 $\mathcal{E}(10)$，当前实现超出桌面内存限制，表明其计算成本极高。