[论文解读] The Riordan Group and Symmetric Lattice Paths

Deng Li-hua, Eva Y.P. Deng+1 more|ArXiv.org|Jun 10, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文利用Riordan群技巧研究对称Dyck、Motzkin和Schröder路径，推导出关于其计数 $d_n$、$m_n$ 和 $s_n$ 的六个组合恒等式。文中为其中两个恒等式提供了组合证明，并计算了对称Dyck路径的平均中间高度和平均x轴交叉次数，表明两者在 $n \to \infty$ 时均收敛于4。该研究建立了对称格路与Riordan数组之间的联系，得到了精确的生成函数和结构洞察。

ABSTRACT

In this paper, we study symmetric lattice paths. Let $d_{n}$, $m_{n}$, and $s_{n}$ denote the number of symmetric Dyck paths, symmetric Motzkin paths, and symmetric Schröder paths of length $2n$, respectively. By using Riordan group methods we obtain six identities relating $d_{n}$, $m_{n}$, and $s_{n}$ and also give two of them combinatorial proofs. Finally, we investigate some relations satisfied by the generic element of some special Riordan arrays and get the average mid-height and the average number of points on the x-axis of symmetric Dyck paths of length $2n.$

研究动机与目标

• 通过Riordan群技巧建立对称Dyck、Motzkin和Schröder路径计数之间的组合恒等式。
• 为涉及 $d_n$、$m_n$ 和 $s_n$ 的两个推导出的恒等式提供组合证明。
• 分析对称Dyck路径的结构性质，特别是平均中间高度和平均x轴交叉次数。
• 将对称格路与Riordan数组联系起来，并推导路径统计量的生成函数恒等式。

提出的方法

• 采用Riordan群框架分析对称格路，特别关注生成函数和递推关系。
• 使用首次返回分解推导对称Schröder路径的生成函数：$s(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}} - 1\right)$。
• 应用Riordan数组基本定理（FTRA）推导涉及路径计数加权幂次2的恒等式。
• 定义路径变换映射 $\phi_{j_1,\dots,j_k}$，将上升步修改为水平步，从而实现对求和恒等式的组合证明。
• 使用生成函数 $B(x) = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ 和 $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$ 作为路径计数的基础工具。
• 通过其左半部分分析对称路径，并应用对称性约束，推导出 $s_{n,k}$（即前 $n$ 步中含 $k$ 个上升步的对称Schröder路径数量）的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些组合恒等式关联了对称Dyck、Motzkin和Schröder路径的计数 $d_n$、$m_n$ 和 $s_n$？
• RQ2 如何利用Riordan群方法推导并证明涉及对称格路的恒等式？
• RQ3 长度为 $2n$ 的对称Dyck路径的平均中间高度是多少？
• RQ4 长度为 $2n$ 的对称Dyck路径在x轴上的平均交叉点数是多少？
• RQ5 对称路径的统计量如何与Riordan数组及生成函数关联？

主要发现

• 长度为 $2n$ 的对称Dyck路径的平均中间高度在 $n \to \infty$ 时趋近于4，精确值为：当 $n = 2m+1$ 为奇数时为 $4 \cdot \frac{n+1}{n+2}$，当 $n = 2m$ 为偶数时为 $4m+1$。
• 长度为 $2n$ 的对称Dyck路径的平均x轴交叉次数在极限下也收敛于4，精确值为：当 $n$ 为奇数时为 $4 \cdot \frac{n+1}{n+2}$，当 $n$ 为偶数时为 $4m+1$。
• 对称Dyck路径的生成函数为 $d(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}} - 1\right)$，等价于 $\frac{C(x^2)}{1 - xC(x^2)}$。
• 对称Motzkin路径的生成函数为 $m(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-3x}} - 1\right)$，对应序列A005773。
• 对称Schröder路径的生成函数为 $s(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}} - 1\right)$，对应序列A026003。
• 求和 $\sum_{k=0}^n s_{n,k} = p_{n+1}$，其中 $p_n$ 为Pell数列，且 $\sum_{k=0}^n 2^k s_{n,k} = h_{n+1}$，其中 $h_n$ 为序列 $\frac{1}{1-3x-x^2}$，两者均通过FTRA和组合映射得到证明。