[论文解读] The robber strikes back

Anthony Bonato, Stephen Finbow+6 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文引入了‘警察与攻击强盗’游戏，其中强盗可通过移动至警察所在的顶点来消灭该警察，并研究了保证捕获所需的最少警察数 $cc(G)$。作者证明了在二分图中 $cc(G) \leq c(G) + 2$，在 $K_{1,m}$-自由、直径为2的图中 $cc(G) \leq c(G) + 2m - 2$，表明攻击规则最多仅使警察数量增加一个较小的加法因子。

ABSTRACT

We consider the new game of Cops and Attacking Robbers, which is identical to the usual Cops and Robbers game except that if the robber moves to a vertex containing a single cop, then that cop is removed from the game. We study the minimum number of cops needed to capture a robber on a graph $G$, written $cc(G)$. We give bounds on $cc(G)$ in terms of the cop number of $G$ in the classes of bipartite graphs and diameter two, $K_{1,m}$-free graphs.

研究动机与目标

• 研究在一种新变体‘警察与强盗’游戏中，为保证捕获强盗所需最少警察数 $cc(G)$，其中强盗可通过移动至其所在顶点的警察来消灭该警察。
• 理解攻击规则对警察数的影响，特别是在二分图等结构化图类中的影响。
• 以经典警察数 $c(G)$ 表示，建立 $cc(G)$ 的上界，尤其针对小直径图和含禁止子图的图。
• 提出使用后备警察的策略，防止强盗消灭关键防守警察，从而在存在攻击规则的情况下仍能确保捕获。

提出的方法

• 引入‘警察与攻击强盗’游戏，其中强盗可通过移动至仅有一名警察所在的顶点来消灭该警察，若强盗移动至有多个警察的顶点则游戏结束。
• 将 $cc(G)$ 定义为保证捕获所需的最少警察数，并建立基础界限：$c(G) \leq cc(G) \leq \min\{2c(G), 2\bar{c}(G), \gamma(G)\}$。
• 在二分图中使用影子策略：警察在两个部分集之间保持与强盗的奇偶性一致，即使强盗发动攻击也能确保捕获。
• 在 $K_{1,m}$-自由、直径为2的图中，部署两支小队：第一支小队执行标准警察策略，第二支小队作为移动后备力量，通过中心顶点 $x$ 的‘跃迁’机制维持保护。
• 通过保持 $m-1$ 名后备警察在 $x$ 上，并利用 $K_{1,m}$-自由性确保强盗附近的多名警察彼此相邻，从而确保第一支小队的警察永远不会被攻击。
• 证明当使用 $c(G) + 2m - 2$ 名警察时，警察总能获胜，因为对第一支小队警察的任何攻击都会立即被第二支小队警察反击，从而维持经典获胜策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 强盗可通过移动至其所在顶点的警察来消灭该警察，这一能力如何影响保证捕获所需最少警察数？
• RQ2 在二分图等结构化图类中，经典警察数 $c(G)$ 与新参数 $cc(G)$ 之间存在何种关系？
• RQ3 在攻击规则下，$K_{1,m}$-自由、直径为2的图的警察数是否可被界定？若是，最紧的界限是什么？
• RQ4 能否通过使用辅助警察的后备策略，确保无单名警察易受攻击，同时仍能保证捕获强盗？
• RQ5 是否可能仅通过在经典警察数基础上增加一个较小的常数，就维持‘警察与攻击强盗’游戏中的获胜策略？

主要发现

• 在二分图中，cc-数满足 $cc(G) \leq c(G) + 2$，表明攻击规则最多使警察数增加两名。
• 在 $K_{1,m}$-自由、直径为2的图中（$m \geq 3$），有 $cc(G) \leq c(G) + 2m - 2$，提供了关于 $m$ 的多项式依赖关系。
• 对于围长至少为5的图，有 $cc(G) \geq \delta(G) + 1$，扩展了经典结果 $c(G) \geq \delta(G)$。
• 在二分图中使用影子策略可确保警察与强盗保持奇偶性一致，即使强盗发动攻击也能实现捕获。
• ‘跃迁’机制使第二支小队警察能通过中心顶点 $x$ 高效重新定位，保持 $m-1$ 名警察在 $x$ 上，并实现快速支援。
• 该策略确保第一支小队的警察永远不会被攻击，因为任何潜在威胁都会被第二支小队警察预先化解，从而保持经典获胜策略的完整性。