[论文解读] The role of the boundary term in $f(Q,B)$ symmetric teleparallel gravity

Salvatore Capozzıello, Vittorio De Falco+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

Cosmology and Gravitation TheoriesPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文研究了 $f(Q,B)$ 对称平行平行引力，其中 $f$ 是非度规标量 $Q$ 和边界项 $B$ 的函数。研究表明，$f(Q,B) = f(Q - B)$ 模型在动力学上等价于 $f(R)$ 引力，通过广义几何引力三重奏框架统一了 $f(R)$、$f(T,\tilde{B})$ 和 $f(Q,B)$ 引力，且通过变分法推导出一致的场方程与守恒律。

ABSTRACT

In the framework of metric-affine gravity, we consider the role of the boundary term in Symmetric Teleparallel Gravity assuming $f(Q,B)$ models where $f$ is a smooth function of the non-metricity scalar $Q$ and the related boundary term $B$. Starting from a variational approach, we derive the field equations and compare them with respect to those of $f(Q)$ gravity in the limit of $B o0$. It is possible to show that $f(Q,B)=f(Q-B)$ models are dynamically equivalent to $f(R)$ gravity as in the case of teleparallel $f( ilde{B}-T)$ gravity (where $B eq ilde{B}$). Furtherrmore, conservation laws are derived. In this perspective, considering boundary terms in $ f(Q)$ gravity represents the last ingredient towards the Extended Geometric Trinity of Gravity, where $f(R)$, $f(T, ilde{B})$, and $f(Q,B)$ can be dealt with under the same standard. We also compare and discuss about the Gibbons-Hawking-York boundary term of General Relativity and the boundary term $B$ in $f(Q,B)$ gravity.

研究动机与目标

• 研究在度量-仿射引力框架下，$f(Q,B)$ 对称平行平行引力中边界项 $B$ 的作用。
• 通过变分原理推导 $f(Q,B)$ 引力的一致场方程。
• 建立 $f(Q,B) = f(Q - B)$ 模型与 $f(R)$ 引力之间的动力学等价性。
• 在广义几何引力三重奏框架下，统一 $f(R)$、$f(T,\tilde{B})$ 和 $f(Q,B)$ 引力。
• 比较广义相对论中的吉布斯-霍金-雅各布边界项与 $f(Q,B)$ 引力中的 $B$ 项。

提出的方法

• 采用变分法推导 $f(Q,B)$ 引力的场方程，将 $Q$ 和 $B$ 视为独立变量。
• 定义非度规标量 $Q = Q_{\alpha\mu\nu}Q^{\alpha\mu\nu}$ 和边界项 $B = \partial_\alpha (Q^{\alpha\mu\nu}g_{\mu\nu})$。
• 利用列维-奇维塔联络 $\accentset{\circ}{\Gamma}$ 和非度规张量 $Q_{\alpha\mu\nu} = \nabla_\alpha g_{\mu\nu}$ 表达几何量。
• 通过对方程作用泛函关于度量 $g^{\mu\nu}$ 的变分，推导出场方程：$\accentset{\circ}{G}_{\mu\nu}f_Q - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}(f - f_Q Q - f_B B) + \partial_\lambda(f_Q + f_B)2P^\lambda_{\ \mu\nu} - g_{\mu\nu}\accentset{\circ}{\Box}f_B + \accentset{\circ}{\nabla}_\mu\accentset{\circ}{\nabla}_\nu f_B = \chi\Theta_{\mu\nu}$。
• 分析 $B \to 0$ 的极限情形，以恢复 $f(Q)$ 引力，并与 $f(R)$ 引力进行比较。
• 通过张量恒等式与协变导数分析守恒律，验证场方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $f(Q,B)$ 引力中，边界项 $B$ 的引入如何影响场方程？
• RQ2 $f(Q,B) = f(Q - B)$ 与 $f(R)$ 引力之间的动力学等价性是什么？
• RQ3 $f(Q,B)$ 引力中的边界项 $B$ 与广义相对论中吉布斯-霍金-雅各布边界项有何异同？
• RQ4 能否在单一几何框架下将 $f(Q,B)$ 引力与 $f(R)$ 和 $f(T,\tilde{B})$ 引力统一？
• RQ5 从变分原理出发，$f(Q,B)$ 引力中的守恒律与一致性条件是什么？

主要发现

• 通过一致的变分原理推导出 $f(Q,B)$ 引力的场方程，边界项 $B$ 在动力学中起关键作用。
• $f(Q,B) = f(Q - B)$ 模型在动力学上等价于 $f(R)$ 引力，将几何引力三重奏扩展至包含对称平行平行形式。
• 在 $B \to 0$ 的极限下，$f(Q,B)$ 引力退化为 $f(Q)$ 引力，与文献中已知结果一致。
• $f(Q,B)$ 引力中的边界项 $B$ 与扭结引力中的 $\tilde{B}$ 项并不等价，尽管两者均与边界贡献相关。
• 推导出守恒律，表明能量-动量张量 $\Theta_{\mu\nu}$ 在该理论中是守恒的。
• 当 $f(Q,B) = Q + B$ 时，场方程退化为广义相对论的场方程，确认在适当极限下与标准模型的一致性。