[论文解读] The Rolling Body Motion Of a Rigid Body on a Plane and a Sphere. Hierarchy of Dynamics

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|ArXiv.org|Jun 3, 2003

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 3被引用 54

一句话总结

本文对刚体在平面和球面上的非完整滚动运动进行了全面分析，识别了存在不变测度、附加首次积分和泊松结构的条件。该研究扩展了Chaplygin、Appell和Woronetz的经典结果，表明在特定对称情形下（如动力对称体或质心偏移的球体），系统成为Euler-Jacobi可积的，并可通过时间重参数化转化为哈密顿系统。其主要贡献在于系统地建立了一套可积性条件的层级结构，以表格形式总结，揭示了两个首次积分的存在通常意味着不变测度的存在，暗示了非完整动力学中深层次的结构关联。

ABSTRACT

In this paper we consider cases of existence of invariant measure, additional first integrals, and Poisson structure in a problem of rigid body's rolling without sliding on plane and sphere. The problem of rigid body's motion on plane was studied by S.A. Chaplygin, P. Appel, D. Korteweg. They showed that the equations of motion are reduced to a second-order linear differential equation in the case when the surface of dynamically symmetric body is a surface of revolution. These results were partially generalized by P. Woronetz, who studied the motion of body of revolution and the motion of round disk with sharp edge on the surface of sphere. In both cases the systems are Euler-Jacobi integrable and have additional integrals and invariant measure. It turns out that after some change of time defined by reducing multiplier, the reduced system is a Hamiltonian system. Here we consider different cases when the integrals and invariant measure can be presented as finite algebraic expressions. We also consider the generalized problem of rolling of dynamically nonsymmetric Chaplygin ball. The results of studies are presented as tables that describe the hierarchy of existence of various tensor invariants: invariant measure, integrals, and Poisson structure in the considered problems.

研究动机与目标

• 系统分类非完整滚动刚体在平面和球面上存在不变测度、附加首次积分和泊松结构的情形。
• 将Chaplygin、Appell和Woronetz的经典结果推广至广义情形，包括动力非对称体和陀螺静力学推广情形。
• 在不同体与曲面构型下，建立张量不变量（测度、首次积分、泊松结构）的层级结构。
• 阐明非完整系统中首次积分与不变测度之间关系，特别是当两者共存或均不存在时的情形。

提出的方法

• 利用矢量动力学和Poisson型运动学方程，推导刚体在平面或球面上无滑动滚动的运动方程。
• 应用Gauss变换，通过法向量γ表示接触点位置，实现对几何结构的统一处理。
• 应用转动惯量张量I和约化质量项mr²，通过M = Iω + mr × (ω × r)关联角动量M与角速度ω。
• 引入时间重参数化，通过约化乘子将约化系统转化为哈密顿形式（在可能时）。
• 采用三维Poincaré映射进行数值分析，以检测隐藏首次积分并验证分析结果。
• 构建详细表格，总结不同构型下不变量（测度、首次积分、泊松结构）的存在性，包括对称与非对称体的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 刚体在平面或球面上非完整滚动时，在何种条件下存在不变测度？
• RQ2 附加首次积分在何种情况下存在，其与不变测度的存在有何关联？
• RQ3 约化系统能否被转化为哈密顿系统？若能，需何种时间重参数化？
• RQ4 动力对称性与几何约束（如质心位于接触平面）在实现可积性中起何作用？
• RQ5 陀螺静力学推广如何影响滚动系统中首次积分与测度的存在性？

主要发现

• 对于质心偏移的动力对称Chaplygin球体，系统存在两个首次积分：M² = const 和 (M, Aγ) = const，且存在不变测度。
• 圆盘在球面上滚动时存在两个首次积分和一个不变测度，约化系统在时间重参数化后变为哈密顿系统。
• 在球面上的动力非对称球体情形下，两个首次积分可用初等函数表示，且在时间变换后系统为哈密顿系统，此结论由Woronetz提出，后经Borisov与Mamaev证实。
• 仅当满足特定几何与动力条件（如质心位于接触平面）时，具有平面表面的球体在球面上滚动才存在不变测度。
• 系统中两个首次积分的存在始终与不变测度的存在相关联，暗示了非完整系统中存在深层的结构约束。
• 本文识别出：在特定对称条件下，可将Brun场加入系统，同时保持一个首次积分与测度不变，此结论由Borisov与Fedorov给出。