[论文解读] The saddle-node-transcritical bifurcation in a population model with constant rate harvesting

Kie Van Ivanky Saputra, L. van Veen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 5

一句话总结

本文研究了在具有恒定捕获或迁移的改进Lotka-Volterra种群模型中，鞍结点与跨临界分歧的相互作用。结果表明，这种双余维分歧表现为非普遍展开的尖点分歧或退化Bogdanov-Takens（DBT）分歧，具体取决于平衡点具有单个或双重零特征值，揭示了原模型中不存在的复杂动力学行为，包括周期轨道、异宿轨和同宿轨。

ABSTRACT

We study the interaction of saddle-node and transcritical bifurcations in a Lotka-Volterra model with a constant term representing harvesting or migration. Because some of the equilibria of the model lie on an invariant coordinate axis, both the saddle-node and the transcritical bifurcations are of codimension one. Their interaction can be associated with either a single or a double zero eigenvalue. We show that in the former case, the local bifurcation diagram is given by a nonversal unfolding of the cusp bifurcation whereas in the latter case it is a nonversal unfolding of a degenerate Bogdanov-Takens bifurcation. We present a simple model for each of the two cases to illustrate the possible unfoldings. We analyse the consequences of the generic phase portraits for the Lotka-Volterra system.

研究动机与目标

• 分析具有恒定速率捕获或迁移的种群模型中鞍结点与跨临界分歧的相互作用。
• 确定当平衡点位于不变坐标轴上时的分歧结构，导致余维一分歧。
• 根据分歧点处存在单个或双重零特征值，对结果动力学进行分类。
• 证明系统表现出标准分歧奇点的非普遍展开，包括尖点与退化Bogdanov-Takens（DBT）分歧。
• 识别由于模型结构修改而出现的新动力学特征，如周期轨道、异宿轨和同宿轨。

提出的方法

• 研究采用带有常数项的平面Lotka-Volterra系统，该常数项代表捕获或迁移，同时保持坐标轴的不变性。
• 应用中心流形约化与正规型理论分析具有零特征值的平衡点，区分单个或双重零特征值的情况。
• 推导坐标变换以将系统约化为正规型，给出变量四阶以内的显式表达式。
• 对正规型进行缩放，得到能捕捉分歧相互作用本质动力学的最小模型。
• 识别变换的非退化条件，确保在特定参数约束下有效。
• 将所得模型与已知正规型比较，表明由于跨临界分歧的参数依赖性，该展开是非普遍的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有恒定捕获的种群模型中，鞍结点与跨临界分歧的相互作用如何表现？
• RQ2 当平衡点具有单个零特征值与双重零特征值时，局部分歧结构是什么？
• RQ3 不变坐标轴的存在如何影响分歧相互作用的余维与类型？
• RQ4 从这种分歧相互作用中涌现出哪些新动力学行为，如周期轨道、异宿轨或同宿轨？
• RQ5 为何该分歧的展开是非普遍的，这如何影响结果动力学的分类？

主要发现

• 当平衡点具有单个零特征值时，鞍结点与跨临界分歧的相互作用导致尖点分歧的非普遍展开。
• 当平衡点具有双重零特征值时，系统经历退化Bogdanov-Takens（DBT）分歧的非普遍展开。
• 修改后的模型支持原Lotka-Volterra系统中不存在的新动力学特征，包括周期轨道、异宿连接和同宿分歧。
• 系统的正规型表明，与k4和k5成比例的项会分裂不变流形，导致形成两条不同的异宿连接和一个同宿分歧。
• 分歧图显示两种拓扑上不同的情况——椭圆与双曲情况——对应于DBT奇点的不同展开。
• 分析确认，当参数a11、a21、a22、D3、D4和(a22 + a12)均非零时，变换的非退化条件得到满足，从而确保正规型约化的有效性。