[论文解读] The Sasakian Geometry of the Heisenberg Group

Charles P. Boyer|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 22

一句话总结

本文研究了Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 的Sasakian几何，证明其Sasaki锥与极值Sasakian结构的集合完全一致。关键结果为：标量曲率为常数当且仅当度量具有 $\Phi$-截面曲率 $-3$，这在极值Sasakian结构中唯一刻画了标准Sasakian结构。

ABSTRACT

In this note I study the Sasakian geometry associated to the standard CR structure on the Heisenberg group, and prove that the Sasaki cone coincides with the set of extremal Sasakian structures. Moreover, the scalar curvature of these extremal metrics is constant if and only if the metric has $Φ$-sectional curvature $-3.$ I also briefly discuss some relations with the well-know sub-Riemannian geometry of the Heisenberg group as well as the standard Sasakian structure induced on compact quotients.

研究动机与目标

• 分析Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 上标准CR结构相关的Sasakian几何。
• 确定该CR结构的Sasaki锥结构及其与极值Sasakian度量的关系。
• 刻画Heisenberg群上极值Sasakian度量具有常数标量曲率的条件。
• 探讨Heisenberg群上Sasakian几何、次黎曼几何与CR结构之间的联系。
• 研究Heisenberg群紧致商上的Sasakian结构行为。

提出的方法

• 本文利用Heisenberg群上的标准CR结构，通过Reeb向量场和一个自同态 $\Phi$ 定义自然的接触度量结构。
• 通过1-形式 $\eta$、其外微分 $d\eta$ 与 $\Phi$ 构造黎曼度量 $g$，形成接触度量结构 $(\xi, \eta, \Phi, g)$。
• 通过考虑 $\Phi$-截面曲率及CR自同构群中的伸缩变换作用，分析Sasaki锥，将锥的维数降低至 $n$。
• 将极值Sasakian度量识别为标量曲率 $L^2$-范数的临界点，要求标量曲率的横截梯度为横截全纯。
• 通过各向异性爆破方法比较Sasakian度量与次黎曼Carnot-Carathéodory度量，突出几何对偶性。
• 通过离散子群 $\Gamma_{\bf l}$ 构造紧致商，并利用全纯线丛与阿贝尔簇分析诱导的Sasakian结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Heisenberg群的Sasaki锥是否与极值Sasakian结构的集合一致？
• RQ2 在何种条件下，Heisenberg群上极值Sasakian度量的标量曲率为常数？
• RQ3 Heisenberg群的Sasakian几何与次黎曼几何之间有何关系？
• RQ4 Heisenberg群上的哪些Sasakian结构可下降到紧致商？
• RQ5 紧致Sasakian李群尼曼ifold与极化阿贝尔簇之间存在何种关系？

主要发现

• 尽管CR自同构群中的伸缩变换使维数降低至 $n$，Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 的Sasaki锥仍与极值Sasakian结构的集合完全一致。
• Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 上极值Sasakian度量的标量曲率为常数，当且仅当其 $\Phi$-截面曲率为 $-3$。
• 具有 $\Phi$-截面曲率 $-3$ 的标准Sasakian结构是Heisenberg群上唯一的零-eta-Einstein结构。
• 在一般Sasakian结构 ${\mathcal{S}}_{1,{\bf a}}$ 中，仅当 ${\bf a}=0$ 时的标准结构可下降到紧致商。
• 紧致商 $\mathfrak{N}^{2n+1}(\Gamma_{\bf l})$ 上诱导的Sasakian结构为零-eta-Einstein结构，且具有常数 $\Phi$-全纯截面曲率 $-3$。
• 通过线丛 $L$ 中的单位圆丛构造，存在紧致李群尼曼ifold $\mathfrak{N}^{2n+1}(\Gamma_{\bf l})$ 与极化阿贝尔簇 $({\mathbb{C}}^n/\Lambda_{\bf l}, L)$ 之间的一一对应关系。