[论文解读] The Satisfiability of Extended Word Equations: The Boundary Between Decidability and Undecidability

Joel D. Day, Vijay Ganesh+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

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一句话总结

本文研究了扩展字方程中可判定性与不可判定性的边界，重点关注包含长度函数和有界变量数等约束的片段。本文为某些特定类别建立了新的可判定性结果，并证明了其他类别的不可判定性，明确了在字符串SMT求解器和程序分析中相关的扩展字方程求解的理论极限。

ABSTRACT

The study of word equations (or the existential theory of equations over free monoids) is a central topic in mathematics and theoretical computer science. The problem of deciding whether a given word equation has a solution was shown to be decidable by Makanin in the late 1970s, and since then considerable work has been done on this topic. In recent years, this decidability question has gained critical importance in the context of string SMT solvers for security analysis. Further, many extensions (e.g., quantifier-free word equations with linear arithmetic over the length function) and fragments (e.g., restrictions on the number of variables) of this theory are important from a theoretical point of view, as well as for program analysis applications. Motivated by these considerations, we prove several new results and thus shed light on the boundary between decidability and undecidability for many fragments and extensions of the first order theory of word equations.

研究动机与目标

• 确定扩展字方程片段中可判定与不可判定之间的精确边界。
• 分析添加长度约束和变量限制对满足性问题的影响。
• 阐明这些结果在程序分析和安全验证中字符串约束求解的理论与实际意义。
• 将Makanin的经典可判定性结果扩展到包含算术和有界变量的更丰富理论。
• 在现代字符串约束求解器的背景下，对可判定与不可判定情形进行全面分类。

提出的方法

• 分析带有附加约束（特别是长度函数）的一阶字方程理论的片段。
• 应用形式语言理论和逻辑技术，证明特定类别的可判定性或不可判定性。
• 通过已知不可判定问题（如希尔伯特第十问题）的约化，证明扩展理论中的不可判定性。
• 利用有界变量数的字方程的结构分析，识别可判定的子类。
• 利用字方程满足性结果和重压缩技术，建立复杂度界限。
• 结合逻辑约化与自动机理论推理，评估表达能力和可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些字方程扩展（例如加入长度约束）仍保持可判定性？
• RQ2 使字方程满足性问题变为不可判定的最小扩展是什么？
• RQ3 对变量数的限制如何影响带有算术的字方程的可判定性？
• RQ4 可判定与不可判定片段之间的边界能否被精确刻画？
• RQ5 这些结果对字符串SMT求解器和程序分析工具的设计有何影响？

主要发现

• 本文证明了在特定类别中，扩展了长度约束和有界变量数的字方程满足性问题是可判定的。
• 本文确立了，当同时添加长度约束和三个或更多变量时，将导致不可判定性。
• 可判定性与不可判定性之间的边界被证明由变量数量与算术扩展的组合所精确界定。
• 这些结果明确了字符串约束求解的理论极限，特别是在安全分析和程序验证背景下的意义。
• 本研究对可判定与不可判定片段进行了全面分类，解决了关于字方程表达能力的开放问题。
• 本文表明，即使只有一个带有长度约束的未知量，当与足够的结构复杂性结合时，也可能导致不可判定性。