[论文解读] The saturation of exponents and the asymptotic fourth state of turbulence

Katepalli R. Sreenivasan, Victor Yakhot|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2022

Climate variability and models被引用 9

一句话总结

本文提出了一套关于高雷诺数湍流中结构函数标度指数 ζₙ 饱和的理论，表明当 n 较大时，ζₙ 趋近于一个常数（≈7.32），这表明极端、相干的蠕虫状涡旋结构占主导地位。通过使用从重整化微扰理论导出的 ζₙ 的精确表达式，作者推导出四种湍流状态下速度增量的概率密度函数（PDF），并识别出一种渐近第四状态，在该状态下尺度分离失效，大尺度与小尺度之间出现强耦合。

ABSTRACT

A recent discovery about the inertial range of homogeneous and isotropic turbulence is the saturation of the scaling exponents $ζ_n$ for large $n$, defined via structure functions of order $n$ as $S_{n}(r)=\overline{(δ_r u)^{n}}=A(n)r^{ζ_{n}}$. We focus on longitudinal structure functions for $δ_r u$ between two positions that are $r$ apart in the same direction. In a previous paper (Phys.\ Rev.\ Fluids 6, 104604, 2021), we developed a theory for $ζ_n$, which agrees with measurements for all $n$ for which reliable data are available, and shows saturation for large $n$. Here, we derive expressions for the probability density functions of $δ_r u$ for four different states of turbulence, including the asymptotic fourth state corresponding to the saturation of exponents for large $n$. This saturation means that the scale separation is violated in favor of a strongly-coupled quasi-ordered flow structures, which take the form of long and thin (worm-like) structures of length $L$ and thickness $l=O(L/Re)$.

研究动机与目标

• 理解均匀、各向同性湍流中高阶结构函数异常标度的起源。
• 基于标度指数饱和现象，识别并表征四种不同的湍流状态，尤其是渐近第四状态。
• 推导所有四种湍流状态下速度增量的概率密度函数（PDF）的解析表达式。
• 质疑高雷诺数湍流中尺度分离与局部伽利略不变性的有效性。
• 证明极端事件与相干结构在高阶 n 的惯性区占主导地位，从而否定传统基于柯尔莫哥洛夫的模型。

提出的方法

• 通过带有时间白噪声高斯强迫的纳维-斯托克斯方程的重整化微扰理论，推导出精确的标度指数 ζₙ。
• 应用梅林变换，从标度指数 ζₙ 重建速度增量的概率密度函数（PDF）。
• 使用公式 ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475) 来建模大 n 时 ζₙ 的饱和行为。
• 将渐近第四状态识别为 n → ∞ 的极限，此时 ζₙ → 7.32，表明尺度分离失效。
• 分析有效局部雷诺数 Rλ ≈ 8.8，表明微扰理论因强相互作用而失效。
• 确立渐近态由长度为 L、厚度 l ≈ L/Re 的长而细的蠕虫状涡旋结构主导。

实验结果

研究问题

• RQ1 在均匀、各向同性湍流中，高阶 n 时结构函数标度指数 ζₙ 饱和的原因是什么？
• RQ2 速度增量的概率密度函数（PDF）在不同湍流状态下如何演化，特别是在渐近区域？
• RQ3 导致 ζₙ 饱和及高雷诺数湍流中尺度分离失效的物理结构是什么？
• RQ4 为何传统柯尔莫哥洛夫理论无法描述主导高阶矩的极端事件？
• RQ5 相干的、长而细的涡旋结构（蠕虫状）在多大程度上取代了惯性区中的统计独立性？

主要发现

• 当 n 较大时，标度指数 ζₙ 在约 7.32 处饱和，其公式为 ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475)。
• 渐近第四状态对应于一个普遍极限，此时 ζₙ → 7.32，表明速度涨落 u_r ~ 1 的极端事件频繁发生，尺度分离被否定。
• 渐近状态下速度增量的概率密度函数由长度为 L、厚度 l ≈ L/Re 的长而细的蠕虫状涡旋结构主导。
• 有效局部雷诺数 Rλ ≈ 8.8，表明微扰理论失效，湍流为强耦合而非弱相互作用。
• 比值 Γ(n) = ζₙ⁴¹ / ζₙ ≈ 0.0455n + 0.864 表明，当 n ≥ 20 时间歇性占主导，柯尔莫哥洛夫的局部独立性假设不成立。
• 渐近态最适切的描述为长而细的意大利面状涡旋的高斯气体，无尺度分离，且大尺度与小尺度间存在强耦合。