[论文解读] The scattering matrix for 0th order pseudodifferential operators

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在双曲动力假设下，为闭曲面上的0阶伪微分算子建立了限制吸收原理，并定义了一个酉散射矩阵。通过微局部径向估计，证明了该散射矩阵是傅里叶积分算子，其典型关系与 $P - \omega$ 的双特征线相关，为科林·德·贝尔德里和圣-雷蒙德研究的分层流体中的内部波提供了微局部模型。

ABSTRACT

We use microlocal radial estimates to prove the full limiting absorption principle for $P$, a self-adjoint 0th order pseudodifferential operator satisfying hyperbolic dynamical assumptions as of Colin de Verdière and Saint-Raymond. We define the scattering matrix for $P-ω$ with generic $ω\in \mathbb R$ and show that the scattering matrix extends to a unitary operator on appropriate $L^2$ spaces. After conjugation with natural reference operators, the scattering matrix becomes a $0$th order Fourier integral operator with a canonical relation associated to the bicharacteristics of $P-ω$. The operator $P$ gives a microlocal model of internal waves in stratified fluids as illustrated in the paper of Colin de Verdière and Saint-Raymond.

研究动机与目标

• 在双曲动力假设下，为自伴0阶伪微分算子建立完整的限制吸收原理。
• 为 $P - \omega$ 定义通用 $\omega \in \mathbb{R}$ 的散射矩阵，并证明其酉性。
• 表征散射矩阵的微局部结构，即其作为与 $P - \omega$ 的双特征线相关的傅里叶积分算子的性质。
• 为分层流体中的内部波动力学提供一个微局部模型，其动机源于科林·德·贝尔德里和圣-雷蒙德的工作。

提出的方法

• 使用微局部径向估计，证明了具有双曲动力的自伴0阶伪微分算子 $P$ 的限制吸收原理。
• 将散射矩阵 $\mathbf{S}_\omega$ 定义为从 $\mathbb{S}^1$ 上取值于 $\mathbb{C}^d$ 的光滑函数空间到另一类似空间的映射，其中 $d$ 为拉格朗日子流形 $\Lambda^\pm_\omega$ 的连通分支数。
• 构造解算子 $H_{\omega,0}^\pm$，将 $C^\infty(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 映射到商空间 $\mathcal{D}^\pm(P,\omega)$，确保其可逆性并实现解的分解。
• 应用投影 $\Pi = I - u_0 \otimes u_0$ 以移除特征空间 $\mathscr{A}(P,\omega)$，将问题约化为非自伴情形，使标准散射理论适用。
• 通过边界配对公式证明散射矩阵 $\mathbf{S}_\omega$ 可延拓为 $L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 上的酉算子。
• 证明散射矩阵是0阶傅里叶积分算子，其典型关系由 $P - \omega$ 的双特征线流诱导。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有双曲动力的0阶伪微分算子建立限制吸收原理？
• RQ2 当 $\omega$ 不是嵌入特征值时，$P - \omega$ 的散射矩阵结构是什么？
• RQ3 在微局部设置下，散射矩阵如何与 $P - \omega$ 的双特征线流相关联？
• RQ4 在此背景下，能否证明散射矩阵是酉的？若能，其分析机制是什么？
• RQ5 该算子模型在多大程度上可作为分层流体中内部波动力学的微局部类比？

主要发现

• 散射矩阵 $\mathbf{S}_\omega$ 定义良好，并可延拓为 $L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 上的酉算子，确保散射过程中能量守恒。
• 解空间 $\mathcal{Z}(P,\omega)$ 允许唯一分解 $u = u^- + u^+$，其中 $u^\pm \in H_{\omega,0}^\pm(f^\pm)$，$f^\pm \in C^\infty(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$，且散射矩阵将 $f^-$ 映射至 $f^+$。
• $H_{\omega,0}^\pm$ 为线性且可逆算子，为 $\mathscr{D}'_{\perp}(P,\omega)$ 中 $(P - \omega)u = 0$ 的解提供了参数化。
• 散射矩阵 $\mathbf{S}_\omega$ 在微局部意义下是0阶傅里叶积分算子，其典型关系由 $P - \omega$ 的双特征线流给出。
• 即使 $\omega$ 是 $P$ 的特征值，该构造依然有效，通过 $\Pi = I - u_0 \otimes u_0$ 投影移除特征空间，确保约化算子 $P_\perp$ 在 $\omega_0$ 处无特征值。
• 当扰动为光滑算子时（即 $P_\perp - P \in \Psi^{-\infty}(M)$），散射矩阵的微局部结构保持不变，双特征线与典型关系均保持不变。