[论文解读] The scattering operator on asymptotically hyperbolic manifolds

Antônio Sá Barreto, Yiran Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文在不依赖 trapping 假设的前提下，建立了渐近双曲流形（AHM）上散射算子的 Schwartz 核的公式，该公式以波算子的基本解表示。对于非 trapping AHM，本文证明了散射算子是通过散射关系实现的傅里叶积分算子，从而在辐射场和散射微局部结构方面改进了先前的结果。

ABSTRACT

We obtain a formula for the Schwartz kernel of the scattering operator in terms of the Schwartz kernel of the fundamental solution of the wave operator on asymptotically hyperbolic manifolds. If there are no trapped geodesics, this formula is used to show that the scattering operator is a Fourier integral operator that quantizes the scattering relation.

研究动机与目标

• 在不施加 trapping 假设的前提下，推导出渐近双曲流形上散射算子 Schwartz 核的一般公式。
• 在非 trapping 情况下，将散射算子表征为通过散射关系实现的傅里叶积分算子。
• 改进非 trapping AHM 上辐射场的微局部描述，提供在无穷远处一致的核描述。
• 在渐近双曲几何背景下，扩展并统一关于辐射场和散射关系的结果。

提出的方法

• 利用双空间 $\partial X \times_0 X$ 上的微局部分析，从波算子的基本解推导出散射算子的核。
• 在前侧面和边界侧面进行爆破，以解析波核的奇点并分析其渐近行为。
• 利用预解算子的亚纯延拓，以及 $E_+$ 与 $R_+(\lambda)$ 之间的关系，将波核与散射算子联系起来。
• 通过 $\beta_{\partial}^*$ 和 $\beta_0^*$ 映射提升核，以分析其在无穷远处和边界上的行为。
• 应用拉格朗日分布和傅里叶积分算子的理论，证明散射算子由散射关系实现。
• 采用先前关于 AHM 散射工作的参数型构造和微局部技术，建立一致的核结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用波算子基本解表示渐近双曲流形上散射算子的 Schwartz 核？
• RQ2 非 trapping 渐近双曲流形上散射算子的微局部结构是什么？
• RQ3 在非 trapping 情况下，散射算子与散射关系有何关系？
• RQ4 在非 trapping AHM 中，辐射场核能否在双空间的前侧面实现一致描述？
• RQ5 波核渐近行为在确定散射算子结构中的精确作用是什么？

主要发现

• 散射算子的 Schwartz 核表示为 $\beta_{\partial}^*\mathcal{K}_{\mathcal{S}}(s,\tilde{m},s') = \mathcal{A}(s - s' - 2\log\rho_{\mathrm{ff},0}, \tilde{m})$，其中 $\mathcal{A}$ 源于波核的限制。
• 对于非 trapping AHM，通过核的波前集的微局部分析，证明了散射算子是通过散射关系实现的傅里叶积分算子。
• 辐射场核 $\mathcal{K}_{\mathcal{R}_+}$ 被统一描述为 $\beta_{1L}^*\mathcal{K}_{\mathcal{R}_+} = \mathcal{D}(s - \log\rho_{\mathrm{ff},L}, m) + \partial_s\mathcal{D}(s - \log\rho_{\mathrm{ff},L}, m)$，其中 $\mathcal{D}$ 属于特定拉格朗日子流形上的 $I^0$ 类。
• 本结果通过将辐射场的微局部描述扩展至 $\partial X \times_0 X$ 的前侧面，改进了 Sá Barreto 与 Wunsch 的早期工作。
• 该通过波核表达散射核的公式在无 trapping 假设下依然成立，推广了先前的结果。
• 证明了散射矩阵核可通过傅里叶变换共轭从散射算子获得，与早期发现一致。