[论文解读] The Schauder fixed point theorem in random normed modules

Tiexin Guo, Yachao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2021

Fixed Point Theorems Analysis被引用 1

一句话总结

本文将经典的Schauder不动点定理推广到随机赋范模（RN模）在两种拓扑下：(ε,λ)-拓扑与局部L⁰-凸拓扑。通过在σ-稳定RN模中建立随机序列紧致性与随机总有界性之间的等价性，证明了每个从一个随机序列紧致的闭L⁰-凸子集到自身的σ-稳定连续映射都存在不动点，统一了现有的随机不动点定理，并为随机分析与金融领域的未来应用奠定了基础。

ABSTRACT

Random normed modules (briefly, $RN$ modules) are a random generalization of ordinary normed spaces, whose $L^0$--norm induces two kinds of most useful topologies (called the $(\varepsilon,\lambda)$--topology and the locally $L^0$--convex topology). The purpose of this paper is to generalize the classical Schauder fixed point theorem to $RN$ modules under the two kinds of topologies. Motivated by the randomized version of the classical Bolzano--Weierstrass theorem, we first systematically and deeply study the random sequential compactness under the $(\varepsilon,\lambda)$--topology and random total boundedness under the locally $L^0$--convex topology for a $\sigma$--stable subset of a $\sigma$--stable $RN$ module, establishing the Hausdorff theorem on their equivalence, which allows us to construct the well defined random Schauder projection and countably many decompositions of the mapping in question so that we can prove Schauder fixed point theorem in a $\sigma$--stable $RN$ module, namely every $\sigma$--stable continuous mapping (under either of the two topologies) of a random sequentially compact closed $L^0$--convex subset into itself has a fixed point. The new fixed point theorem both unifies all the random generalizations currently available of the classical Brouwer or Schauder fixed point theorem and meets the need of the future applications of $RN$ modules to stochastic analysis and stochastic finance.

研究动机与目标

• 将经典的Schauder不动点定理推广到随机赋范模（RN模）的框架下，该框架在概率框架下推广了普通赋范空间。
• 解决在RN模中缺乏全面不动点理论的问题，特别是针对随机与金融应用。
• 在σ-稳定RN模中，建立随机序列紧致性（在(ε,λ)-拓扑下）与随机总有界性（在局部L⁰-凸拓扑下）之间的等价性。
• 构建一个明确定义的随机Schauder投影，并通过映射的可数分解来证明RN模中不动点的存在性。

提出的方法

• 引入并分析σ-稳定RN模上的(ε,λ)-拓扑与局部L⁰-凸拓扑，这是该语境下最实用的两种拓扑。
• 定义并研究σ-稳定子集在(ε,λ)-拓扑下的随机序列紧致性，以及在局部L⁰-凸拓扑下的随机总有界性。
• 建立一个类似Hausdorff的定理，证明在σ-稳定RN模中，随机序列紧致性与随机总有界性之间的等价性。
• 构建一个随机Schauder投影，并利用映射的可数分解，将不动点问题转化为可解形式。
• 将随机化的Bolzano–Weierstrass定理作为基础工具，以确保在概率设定下的收敛性。
• 证明在任一拓扑下，每个从一个随机序列紧致的闭L⁰-凸子集到自身的σ-稳定连续映射都存在不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的Schauder不动点定理能否推广到(ε,λ)-拓扑与局部L⁰-凸拓扑下的随机赋范模框架？
• RQ2 在σ-稳定RN模中，随机序列紧致性与随机总有界性之间存在何种关系？
• RQ3 在该概率框架下，如何构建一个明确定义的随机Schauder投影？
• RQ4 在何种条件下，RN模中一个闭L⁰-凸子集上的σ-稳定连续映射存在不动点？
• RQ5 该新的不动点定理在多大程度上统一了现有的Brouwer与Schauder定理的随机推广？

主要发现

• 在σ-稳定RN模的σ-稳定子集中，严格建立了随机序列紧致性（在(ε,λ)-拓扑下）与随机总有界性（在局部L⁰-凸拓扑下）之间的等价性。
• 构建了一个明确定义的随机Schauder投影，使得映射可被分解为可数个易于处理的分量。
• 在任一拓扑下，每个从一个随机序列紧致的闭L⁰-凸子集到自身的σ-稳定连续映射都存在不动点。
• 新的不动点定理统一了目前所有可用的Brouwer与Schauder不动点定理的随机推广。
• 该结果为未来在RN模框架下的随机分析与随机金融应用提供了基础性工具。
• 证明依赖于Bolzano–Weierstrass定理的随机化版本，确保了在RN模的概率设定下的收敛性。