[论文解读] The Schmidt number and partially entanglement breaking channels in infinite dimensions

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Quantum Information and Cryptography参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文将 Schmidt 数与部分纠缠破坏通道推广至无限维量子系统，通过本质上确界引入测度论定义的 Schmidt 数，以处理非可数分解的态。关键贡献在于证明了存在有限 Schmidt 数但无法分解为有限 Schmidt 秩纯态的凸组合的态，并表明在无限维情形下，纠缠破坏通道可能需要无限秩的 Kraus 算符——这与有限维情形的直觉相矛盾。

ABSTRACT

A definition of the Schmidt number of a state of an infinite dimensional bipartite quantum system is given and properties of the corresponding family of Schmidt classes are considered. The existence of states with a given Schmidt number such that any their countable convex decomposition does not contain pure states with finite Schmidt rank is established. Partially entanglement breaking channels in infinite dimensions are studied. Several properties of these channels well known in finite dimensions are generalized to the infinite dimensional case. At the same time, the existence of partially entanglement breaking channels (in particular, entanglement breaking channels) such that all operators in any their Kraus representations have infinite rank is proved.

研究动机与目标

• 将 Schmidt 数的概念从有限维推广至无限维双粒子量子系统。
• 解决由于不可数分解的可分态导致有限维定义在无限维情形下不充分的问题。
• 表征无限维情形下的部分纠缠破坏通道，并推广有限维的性质。
• 研究此类通道的 Kraus 表示结构，特别是 Kraus 算符的秩。
• 证明存在有限 Schmidt 数但无法分解为有限 Schmidt 秩纯态的凸组合的态。

提出的方法

• 提出一种基于谱测度下 Schmidt 系数本质上确界的连续测度论定义的 Schmidt 数。
• 将 Schmidt 类定义为 Schmidt 秩 ≤ k 的纯态的凸包，证明其与 Schmidt 数 ≤ k 的态集等价。
• 通过 k-正映射表征 Schmidt 类，推广文献 [18] 中的有限维结果。
• 利用重心表示法证明：任意属于 k 阶 Schmidt 类的态，均为支撑在 Schmidt 秩 ≤ k 的纯态上的概率测度的重心。
• 构造显式例子，展示存在有限 Schmidt 数但无法通过任何可数凸组合分解为有限 Schmidt 秩纯态的态。
• 利用酉扩张与连续酉群上的平均化技术，证明在无限维情形下存在所有 Kraus 算符均为无限秩的纠缠破坏通道。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在标准凸组合失效的情况下，一致地将 Schmidt 数推广至无限维双粒子量子态？
• RQ2 在无限维情形下，Schmidt 类是否仍与有限 Schmidt 秩纯态的凸包一致？
• RQ3 能否将通过 k-正映射表征 Schmidt 类的方法推广至无限维？
• RQ4 是否存在有限 Schmidt 数但无法表示为有限 Schmidt 秩纯态凸组合的态？
• RQ5 在无限维情形下，纠缠破坏通道的 Kraus 算符是否可能为无限秩？若如此，其与有限维情形有何不同？

主要发现

• 在无限维情形下，Schmidt 数通过 Schmidt 系数关于谱测度的本质上确界严格定义，确保与有限 Schmidt 秩纯态凸包的一致性。
• 在无限维情形下，k 阶 Schmidt 类与 Schmidt 秩 ≤ k 的纯态的凸包一致，推广了有限维情形的结果。
• Schmidt 数 ≤ k 的态集由 k-正映射表征，将文献 [18] 中的定理 1 推广至无限维。
• 存在有限 Schmidt 数 k 的态，使得任何可数凸组合分解中均无法包含任何有限 Schmidt 秩的纯态。
• 在无限维情形下，部分纠缠破坏通道的所有 Kraus 算符可能均为无限秩，这与有限维情形下此类通道由有界秩算符生成的直觉相矛盾。
• 在无限维情形下存在纠缠破坏通道，其 Kraus 表示完全由无限秩算符构成，揭示了其与有限维情形的根本结构性差异。