[论文解读] The Schwinger Action Principle and the Feynman Path Integral for Quantum Mechanics in Curved Space

David J. Toms|ArXiv.org|Nov 25, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过要求与施温格作用量原理一致，解决了弯曲流形上量子力学费曼路径积分测度的模糊性，证明测度必须同时包含自然体积元和一个范维克-莫雷特行列式。此选择消除了薛定谔方程中的曲率依赖修正，与随机微分方程方法的结果一致。

ABSTRACT

The Feynman path integral approach to quantum mechanics is examined in the case where the configuration space is curved. It is shown how the ambiguity that is present in the choice of path integral measure may be resolved if, in addition to general covariance, the path integral is also required to be consistent with the Schwinger action principle. On this basis it is argued that in addition to the natural volume element associated with the curved space, there should be a factor of the Van Vleck-Morette determinant present. This agrees with the conclusion of an approach based on the link between the path integral and stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 解决弯曲流形上量子力学路径积分测度的模糊性。
• 通过要求与施温格作用量原理一致（超越一般协变性），建立唯一测度。
• 证明范维克-莫雷特行列式在测度中必须以指数 p=1 出现。
• 证明此选择可导致不含显式曲率修正的薛定谔方程。
• 统一弯曲空间中路径积分与随机微分方程方法的结果。

提出的方法

• 使用施温格作用量原理推导跃迁振幅，要求作用量和动力学变量变分下的不变性。
• 引入源项，并利用路径积分表示，将振幅表示为作用量和源的函数。
• 从 $σ^i$ 到 $q^i$ 进行变量变换，引入包含范维克-莫雷特行列式的雅可比行列式。
• 使用范维克-莫雷特行列式 $\Delta(q_*,q)$ 的定义，将测度表示为度量和测地线距离的二阶导数的函数。
• 通过强制坐标变换下的不变性来约束前因子，从而导出最终的测度形式。
• 证明所得路径积分测度同时包含 $|g(q)|^{1/2}$ 和 $|\Delta(q_*,q)|$，且 $p=1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，弯曲流形上量子力学的唯一路径积分测度既满足一般协变性又与施温格作用量原理一致？
• RQ2 当配置空间为弯曲时，施温格作用量原理如何限制路径积分中测度的选择？
• RQ3 为何范维克-莫雷特行列式会出现在路径积分测度中？其正确的幂次是什么？
• RQ4 当范维克-莫雷特行列式以指数 p=1 包含时，是否能消除结果薛定谔方程中的曲率修正？
• RQ5 施温格作用量原理方法与随机微分方程方法在确定路径积分测度方面有何比较？

主要发现

• 路径积分测度必须同时包含自然体积元 $|g(q)|^{1/2}$ 和一个范维克-莫雷特行列式 $|\Delta(q_*,q)|$。
• 与施温格作用量原理一致的要求唯一地将范维克-莫雷特行列式的指数固定为 p=1。
• 此选择导致的薛定谔方程中不包含显式的曲率修正，与 WKB 方法和随机方法结果一致。
• 仅当使用包含 $|\Delta(q_*,q)|$ 的完整测度时，由施温格作用量原理导出的跃迁振幅才与标准路径积分形式一致。
• 因子 $|g(q_*)|^{-1/2}f(q_*)$ 是标量，可作为常数吸收，不改变物理测度。
• 该结果与文献 [stochastic] 的结论一致，后者通过基于随机过程的另一种方法推导出相同的测度。