[论文解读] The Second Order Terms of the Variance Curves for Some Queueing Output Processes

Sophie Hautphenne, Yoav Kerner+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文使用有限容量队列的Drazin逆和无限容量队列的Daley变换，推导出M/M/1/K和M/G/1队列输出过程方差曲线的二阶项（y轴截距）的显式表达式。主要贡献在于对y轴截距的闭式表征，从而深化了对BRAVO效应的理解，并实现了对到达过程与队列长度过程之间渐近协方差的计算。

ABSTRACT

We consider queueing output processes of some elementary queueing models such as the M/M/1/K queue and the M/G/1 queue. An important performance measure for these counting processes is their variance curve, indicating the variance of the number of served customers over a time interval. Recent work has revealed some non-trivial properties dealing with the asymptotic rate at which the variance curve grows. In this paper we add to the results by finding explicit expressions for the second order approximation of the variance curve, namely the y-intercept of the linear asymptote. For M/M/1/K queues our results are based on the Drazin inverse of the generator. It turns out that by viewing output processes as MAPs (Markovian Arrival Processes) and considering the Drazin inverse, one can obtain explicit expressions for the y-intercept, together with some further insight regarding the BRAVO effect (Balancing Reduces Asymptotic Variance of Outputs). For M/G/1 queues our results are based on a classic transform of D.J. Daley. In this case we represent the y-intercept of the variance curve in terms of the first three moments of the service time distribution. A further performance measure that we are able to calculate for both models, is the asymptotic covariance between the queue length and the number of arrivals or departures. In addition we shed light on a classic conjecture of Daley, dealing with characterization of stationary M/M/1 queues within the class of stationary M/G/1 queues, based on the variance curve.

研究动机与目标

• 推导M/M/1/K和M/G/1队列中方差曲线y轴截距的显式表达式，以捕捉线性增长速率之外的二阶渐近行为。
• 通过在有限容量M/M/1/K队列中使用Drazin逆，深化对BRAVO效应（平衡可降低输出方差的渐近值）的理解。
• 在平稳条件下，计算M/G/1队列中到达数量与队列长度之间的渐近协方差。
• 基于方差曲线的性质，研究Daley关于M/M/1队列在平稳M/G/1队列类中唯一由方差曲线表征的猜想。
• 建立渐近方差曲线近似式 $ v(t) = \overline{v}t + \overline{b} + o(1) $ 成立的条件，特别是y轴截距 $ \overline{b} $。

提出的方法

• 对于M/M/1/K队列，使用生成矩阵的Drazin逆计算平均 hitting 时间，进而推导出方差曲线的y轴截距。
• 对于M/G/1队列，方法依赖于D.J. Daley的经典积分变换，将y轴截距表示为服务时间分布前三个矩的函数。
• 假设平稳性和遍历性条件，以确保渐近方差和协方差极限的存在。
• 通过结合离去过程的方差与队列长度过程的方差和协方差，推导出到达与队列长度之间的渐近协方差。
• 利用恒等式 $ D(t) = A(t) + Q(0) - Q(t) $，将离去过程的方差与到达和队列长度之间的协方差联系起来。
• 理论推导基于服务时间的三阶矩假设以及队列长度过程的混合性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平稳M/M/1/K队列中方差曲线的y轴截距 $ \overline{b}_e $ 的显式形式是什么？它与生成矩阵的Drazin逆有何关系？
• RQ2 M/G/1队列中方差曲线的y轴截距如何用服务时间分布的前三个矩表示？
• RQ3 在平稳性和有限三阶矩条件下，M/G/1队列中到达数量与队列长度之间的渐近协方差是否具有闭式表达式？
• RQ4 能否通过M/M/1/K队列中y轴截距的结构，利用Drazin逆对BRAVO效应进行解析解释？
• RQ5 基于y轴截距的行为，Daley的猜想——即M/M/1队列在平稳M/G/1队列中由其方差曲线唯一表征——是否可被证明或证伪？

主要发现

• 对于M/M/1/K队列，y轴截距 $ \overline{b}_e $ 通过生成矩阵的Drazin逆显式推导得出，揭示了其对系统参数的非平凡依赖关系，为理解BRAVO效应提供了洞见。
• 在M/G/1队列中，y轴截距 $ \overline{b}_e $ 以服务时间分布的前三个矩表示，其公式依赖于平方变异系数 $ c^2 $ 和偏度 $ \gamma $。
• M/G/1队列中到达 $ A(t) $ 与队列长度 $ Q(t) $ 之间的渐近协方差被证明为 $ \frac{\rho}{(1-\rho)^2}\left(1 + (c^2 - 1)\frac{\rho(2 - \rho)}{2}\right) $，在M/M/1情况下简化为 $ \frac{\rho}{(1-\rho)^2} $。
• 对于M/M/1/K队列，当 $ c^2 \leq 3 $ 时，y轴截距为负，表明方差增长最初为次线性，且在临界负载 $ \lambda \approx \mu $ 附近y轴截距出现峰值，与BRAVO效应一致。
• 论文证实，在服务时间三阶矩有限的假设下，M/G/1队列的y轴截距 $ \overline{b}_e $ 为有限值，并给出了依赖于 $ \rho $、$ c^2 $ 和 $ \gamma $ 的公式。
• 研究识别出两个开放问题：证明Daley关于通过方差曲线表征M/M/1队列的猜想，以及在 $ \rho > 1 $ 时推导 $ \overline{b}_\theta $ 的闭式表达式。