[论文解读] The second quantization method for indistinguishable particles (Lecture Notes in Physics, UFABC 2010)

V. S. Shchesnovich|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本讲义介绍了不可区分粒子的第二量子化形式体系，推导了产生与湮灭算符、福克空间结构以及任意子与费米子的统计算符。建立了约当-维格纳变换，将一维自旋链映射为二次费米子哈密顿量，实现精确对角化，并揭示了弱相互作用玻色气体与自旋模型的能谱。

ABSTRACT

Contents 1. Creation and annihilation operators for the system of indistinguishable particles 1.1 The permutation group and the states of a system of indistinguishable particles 1.2 Dimension of the Hilbert space of a system of indistinguishable particles 1.3 Definition and properties of the creation and annihilation operators 1.4 TheFockspace 1.5 The representations of state vectors and operators 1.5.1 N-particlewave-functions 1.5.2 The second-quantization representation of operators 1.5.3 Examples 1.6 Evolution of operators in the Heisenberg picture 1.7 Statistical operators of indistinguishable particles 1.7.1 The averages of the s-particle operators 1.7.2 The general structure of the one-particle statistical operator 2 Quadratic Hamiltonian and the diagonalization 2.1 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the fermion operators 2.2 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the boson operators 2.2.1 Diagonalization of the quadratic bosonic Hamiltonian possessing a zero mode 2.3 Long range order, condensation and the Bogoliubov spectrum of weakly interacting Bose gas 2.3.1 The excitation spectrum of weakly interacting Bose gas inabox 2.3.2 The excitation spectrum of an interacting Bose gas in an externalpotential 2.4 The Jordan-Wigner transformation: fermionization of interacting 1D spin chains

研究动机与目标

• 为包含玻色子与费米子的不可区分粒子系统建立严格的第二量子化框架。
• 从置换群对称性出发，推导福克空间的结构以及产生与湮灭算符的性质。
• 通过约当-维格纳变换，建立一维自旋链中自旋算符与费米子算符之间的联系。
• 实现费米子与玻色子系统中二次哈密顿量的对角化，尤其适用于弱相互作用的玻色气体与XY自旋链。
• 在第二量子化中，系统地提供统计算符与多体可观测量期望值的计算方法。

提出的方法

• 利用单粒子态的张量积构建N个全同粒子的希尔伯特空间，通过置换群投影算符投影到对称（玻色子）或反对称（费米子）子空间。
• 通过其在福克态上的作用定义产生与湮灭算符，确保其对易或反对易关系由置换群的符号函数导出。
• 将福克空间定义为N粒子希尔伯特空间的直和，其基态由产生算符作用于真空态构建。
• 通过产生与湮灭算符的正规排序乘积，表达s粒子可观测量的第二量子化形式。
• 应用约当-维格纳变换，非局部地将自旋-1/2算符映射为费米子算符，使用涉及先前自旋z分量算符的字符串算符。
• 通过正则变换对角化二次哈密顿量，尤其适用于费米子系统与弱相互作用的玻色气体，得到 Bogoliubov 能谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用群论原理严格定义不可区分粒子的产生与湮灭算符？
• RQ2 福克空间的结构是什么？它与具有置换对称性的N粒子系统希尔伯特空间有何关系？
• RQ3 约当-维格纳变换如何将具有近邻相互作用的一维自旋-1/2链映射为二次费米子哈密顿量？
• RQ4 在盒子中或外场下的弱相互作用玻色气体的激发谱是什么？它与长程序和凝聚有何关联？
• RQ5 如何在第二量子化中系统地构建统计算符与s粒子可观测量的期望值？

主要发现

• N个全同玻色子的希尔伯特空间维数由二项式系数 $\binom{N + d - 1}{d - 1}$ 给出，而费米子的维数为 $\binom{d}{N}$，其中d为单粒子态的数量。
• 约当-维格纳变换通过 $a_j = \left(\prod_{l=1}^{j-1} \sigma_z^{(l)}\right) \sigma_+^{(j)}$ 将自旋算符 $\sigma^{(j)}_{\pm}$ 映射为费米子算符，实现一维自旋链的精确费米子化。
• XY自旋链哈密顿量被映射为二次费米子哈密顿量，其中 $\sigma_x^{(j)}\sigma_x^{(j+1)}$ 项转化为 $ (a_j^\dagger + a_j)(a_{j+1}^\dagger + a_{j+1}) $，从而实现完全对角化。
• 在盒子中弱相互作用玻色气体的激发谱在低动量区域表现出线性色散关系 $\omega_k \approx ck$，这是 Bogoliubov 准粒子的特征。
• 变换 $\sigma_z^{(j)} = 1 - 2\hat{n}_j$ 与 $\sigma_+^{(j)} = \left[\prod_{l=1}^{j-1}(1 - 2\hat{n}_l)\right] a_j $ 确保了自旋代数的正确性，并在费米子表示中体现非局域性。
• 不可区分粒子系统的统计算符由密度矩阵构建，单粒子约化密度矩阵可用 $\langle a_k^\dagger a_l \rangle$ 表示。