[论文解读] The separation problem for regular languages by piecewise testable languages

Lorijn van Rooijen, Marc Zeitoun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于判断两个正则语言是否可被一个分段测试语言（PT-语言）分离，PT-语言是一类通过禁止子串定义的语言。该方法使用对原始字母表幂集上的细化自动机构造来表示拓扑闭包，从而实现高效的交集检查，并直接高效地解决了PT-语言的分离问题。

ABSTRACT

Separation is a classical problem in mathematics and computer science. It asks whether, given two sets belonging to some class, it is possible to separate them by another set of a smaller class. We present and discuss the separation problem for regular languages. We then give a direct polynomial time algorithm to check whether two given regular languages are separable by a piecewise testable language, that is, whether a $BΣ1(

研究动机与目标

• 解决使用分段测试语言作为分离器的正则语言的分离问题。
• 提供一种直接且高效的算法，避免依赖复杂的profinite半群理论。
• 为两个正则语言的PT-可分离性建立一个多项式时间决策过程。
• 对Almeida和Zeitoun的代数论证进行细化并使其构造化，使用基于自动机的闭包表示。
• 在某些条件下，通过实现状态数和字母表大小的多项式时间复杂度，改进先前的复杂度界限。

提出的方法

• 在字母表 $2^A$（原始字母表的幂集）上构造一个扩展自动机，以表示正则语言的拓扑闭包。
• 使用闭包自动机来测试两个正则语言的闭包是否相交，从而确定其可分离性。
• 利用闭包自动机的空集和交集检查可在NLOGSPACE内完成的事实，从而实现多项式时间复杂度。
• 应用Almeida的代数论证的改进版本，证明非可分离性意味着两个自动机中均存在一个 $(\vec{u}, \vec{B})$-路径。
• 定义并使用 $(\vec{u}, \vec{B})$-充分序列的概念，以提取语言的结构特性。
• 证明：若两个语言都包含 $(\vec{u}, \vec{B})$-充分序列，则两个自动机都必须包含一个 $(\vec{u}, \vec{B})$-路径，从而意味着非可分离性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在多项式时间内判断两个正则语言是否可被一个分段测试语言分离？
• RQ2 两个正则语言无法被分段测试语言分离的结构条件是什么？
• RQ3 如何为算法目的有效表示正则语言的拓扑闭包？
• RQ4 是否存在一种直接且构造性的PT-可分离性算法，避免依赖profinite半群理论？
• RQ5 共同 $(\vec{u}, \vec{B})$-路径的存在与两个语言无法被PT-语言分离之间的精确关系是什么？

主要发现

• 本文提出了一种多项式时间算法，用于判断两个正则语言是否可被分段测试语言分离。
• 该算法基于在输入字母表的幂集上构造闭包自动机，从而实现高效的交集和空集检查。
• 该构造对确定性和非确定性有限自动机均适用，时间复杂度在状态数上为多项式，在字母表大小上为指数。
• 非可分离性由两个语言自动机中均存在一个共同 $(\vec{u}, \vec{B})$-路径来刻画。
• 证明表明：若两个语言都包含 $(\vec{u}, \vec{B})$-充分序列，则两个自动机都必须包含一个 $(\vec{u}, \vec{B})$-路径。
• 该方法对profinite半群理论中的代数论证进行了构造性且直接的改进，使其更易于理解和高效地用于算法实现。