[论文解读] The set of numerical semigroups of a given multiplicity and Frobenius number

M. B. Branco, Ignacio Ojeda+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2023

Commutative Algebra and Its Applications被引用 8

一句话总结

本文提出了一种算法方法，用于计算具有给定重数 $m$ 和 Frobenius 数 $F$ 的所有数值半群，利用一种等价关系将集合 $\mathcal{L}(m,F)$ 划分为由不可约数值半群索引的类。关键贡献是通过首先利用有根树结构确定不可约半群 $I(m,F)$，然后重建每个等价类中的所有半群，从而实现高效计算 $\mathcal{L}(m,F)$，显著优于暴力枚举。该方法在 GAP 中实现，并针对固定重数和亏格的半群计算进行了优化。

ABSTRACT

We study the structure of the family of numerical semigroups with fixed multiplicity and Frobenius number. We give an algorithmic method to compute all the semigroups in this family. Moreover, several characterizations of this family are given. As an application we compute the set of all numerical semigroups with given multipliciy and gender.

研究动机与目标

• 开发一种算法方法，用于计算具有固定重数 $m$ 和 Frobenius 数 $F$ 的所有数值半群，记为 $\mathcal{L}(m,F)$。
• 解决现有方法在未按重数过滤时计算效率低下的问题，尤其针对小 $m$ 和大 $F$ 的情况。
• 通过将算法适配到亏格约束，实现对给定重数和亏格的数值半群的计算。
• 通过高效生成具有高深度（即 $F/m$ 比值大）的半群族，支持 Wilf 和 Bras 猜想的研究。

提出的方法

• 在 $\mathcal{L}(m,F)$ 上定义一个等价关系 $\sim$，使得每个等价类恰好包含一个不可约数值半群，从而建立双射 $\mathcal{L}(m,F)/\sim \cong I(m,F)$。
• 为 $I(m,F)$ 构建一个有根树结构，根为半群 $C(m,F)$，以系统化地生成所有具有给定 $m$ 和 $F$ 的不可约半群。
• 使用 Kunz 坐标表示半群，并将寻找 $I(m,F)$ 的问题解释为求解特定整数规划问题，从而实现算法计算。
• 对于每个不可约半群 $S \in I(m,F)$，通过识别所有集合 $B \subseteq D(S) = S \setminus Z([S])$ 来计算其等价类 $[S]$，使得 $g(T) = g(Z([S])) - |B|$，其中 $T = Z([S]) \cup \bigcup_{b \in B} (b + Z([S]))$。
• 在 GAP 中实现该算法，使用 NumericalSgps 包，优化代码使得在 $F=25$、$m=11$ 时计算 $\mathcal{L}(m,F)$ 的时间低于 0.1 秒，相比原生 GAP 筛选器的 2.788 秒有显著提升。
• 通过限制类 $[S]$ 为具有指定亏格 $g$ 的半群，将算法扩展以计算具有给定重数和亏格的半群，利用 $T(B)$ 的基数约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不进行穷举搜索的情况下，高效计算具有固定重数 $m$ 和 Frobenius 数 $F$ 的数值半群集合 $\mathcal{L}(m,F)$？
• RQ2 在关系 $\sim$ 下，$\mathcal{L}(m,F)$ 中的等价类具有何种结构，其与不可约数值半群有何关联？
• RQ3 能否通过扩展 $\mathcal{L}(m,F)$ 的算法，计算具有给定重数和亏格的数值半群集合？
• RQ4 数值半群的深度（定义为 $q = \lfloor (F+1)/m \rfloor$）如何影响 $\mathcal{L}(m,F)$ 的结构和可计算性？

主要发现

• 当且仅当 $F \geq m-1 \geq 1$ 且 $m \nmid F$ 时，集合 $\mathcal{L}(m,F)$ 非空，其最小元素为 $\langle m \rangle \cup \{F+1, \to\}$。
• 当 $m \geq 3$ 且 $F > 2m$ 时，集合 $\mathcal{L}(m,F)$ 通过 $\sim$ 划分为等价类，每个类恰好包含一个不可约半群。
• 具有给定 $m$ 和 $F$ 的不可约半群集合 $I(m,F)$ 构成一个以 $C(m,F)$ 为根的有根树，可通过算法 22 系统化枚举。
• 该算法在 $m=11$、$F=25$ 时计算 $\mathcal{L}(m,F)$ 仅耗时 0.092 秒，优于原生 GAP 筛选器的 2.788 秒，避免了对所有 Frobenius 数为 $F$ 的半群进行完整枚举。
• 通过限制类 $[S]$ 为具有指定亏格 $g$ 的半群，并利用 $T(B)$ 的基数约束，可将该算法适配以计算具有给定重数和亏格的半群。
• 每个等价类 $[S]$ 的结构对应于多项式环中的一个二项式理想，其中理想 $I_{[S]}$ 编码了在并运算下的集合半群，从而实现了对类的代数表征。