[论文解读] The sextonions and $E_{7\frac 12}$

J. M. Landsberg, Laurent Manivel|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文引入了六元代数——一种介于四元数与八元代数之间的6维代数——并利用它填补了弗罗本纽斯魔方法阵中缺失的一行，构造出位于 $\mathfrak{e}_7$ 与 $\mathfrak{e}_8$ 之间的中间李代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$。作者证明该代数满足例外李代数的关键维数与分解公式，并为八元代数中伴随簇及四元数/六元数子代数提供了几何解释。

ABSTRACT

We fill in the "hole" in the exceptional series of Lie algebras that was observed by Cvitanovic, Deligne, Cohen and deMan. More precisely, we show that the intermediate Lie algebra between $E_7$ and $E_8$ satisfies some of the decomposition and dimension formulas of the exceptional simple Lie algebras. A key role is played by the sextonions, a six dimensional algebra between the quaternions and octonions. Using the sextonions, we show simliar results hold for the rows of an expanded Freudenthal magic chart. We also obtain new interpretations of the adjoint variety of the exceptional group $G_2$.

研究动机与目标

• 填补 Cvitanovic、Deligne、Cohen 与 deMan 所识别出的例外李代数系列中的‘空缺’，该空缺预测存在一个维度为6的复合代数。
• 定义并研究六元代数，即介于四元数与八元代数之间的非结合6维代数。
• 通过六元代数上的对偶性构造中间李代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$，使其位于 $\mathfrak{e}_7$ 与 $\mathfrak{e}_8$ 之间。
• 将弗罗本纽斯魔方法阵扩展至包含基于六元代数的新行，并验证例外李代数的维数与分解公式依然成立。
• 利用六元代数为 $G_2$ 的伴随簇及八元代数中四元数子代数的几何结构提供新的解释。

提出的方法

• 将六元代数定义为 $\mathbb{C}$ 上的6维非结合代数，作为八元代数的子代数构造。
• 利用文献[24]中的对偶性构造，定义中间李代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$，其中 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{e}_8$ 的 $\mathbb{Z}$-分次的半单部分。
• 应用 $\overline{\mathfrak{g}} = \mathfrak{e}_8$ 的5步分次，将中间代数 $\mathfrak{g}$ 定义为 $\mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$，其中 $\overline{\mathfrak{g}}_2 \simeq \mathbb{C}$。
• 将伴随簇 $X^{ad}(\mathfrak{g})$ 构造为 $\mathbb{P}\mathfrak{g}$ 中最高权向量轨道的闭包，用于参数化伴随表示中的直线。
• 利用 $G_{\omega}(\mathbb{H}^3, \mathbb{H}^6)$ 与 $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$ 的几何结构，将 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ 的伴随簇描述为 $PSp(6,\SS)$-齐性簇。
• 分析 $\mathbb{P}V$ 中最高权向量轨道的闭包在优选表示下的结构，识别出一个25维的新塞韦里簇，且存在一个明显的二重点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个介于四元数与八元代数之间的6维复合代数？若存在，它支持哪些代数与几何结构？
• RQ2 能否通过六元代数的对偶性构造中间李代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$？它是否满足例外李代数的关键性质？
• RQ3 例外系列的维数与分解公式是否可推广至由六元代数构造的弗罗本纽斯魔方法阵的新行？
• RQ4 如何利用八元代数中的六元数子代数几何地解释 $G_2$ 的伴随簇？
• RQ5 在 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ 的伴随表示中，最高权向量轨道的闭包的几何结构是怎样的？它是否产生一个新的塞韦里簇？

主要发现

• 六元代数是一种6维非结合代数，位于四元数与八元代数之间，并支持对偶性构造。
• 中间李代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ 构造为 $\mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$，其中 $\mathfrak{h} = [\overline{\mathfrak{g}}_0, \overline{\mathfrak{g}}_0]$，$\overline{\mathfrak{g}} = \mathfrak{e}_8$，且其严格位于 $\mathfrak{e}_7$ 与 $\mathfrak{e}_8$ 之间。
• 伴随簇 $X^{ad}(\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}})$ 的维数为25，且同构于 $PSp(6,\SS)$-轨道下的 $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$，确认其在扩展的魔方法阵中的角色。
• $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$ 仅有一个明显的二重点，意味着其切线四次曲面的奇异点唯一，且所有不在切线四次曲面上的点均位于唯一一条弦线上。
• 伴随簇 $X^{ad}(\SS, \mathbb{H})$ 参数化三元组 $(P, \Sigma, z)$，其中 $P$ 是 $\mathbb{C}^{12}$ 中的极大迷向平面，$\Sigma$ 是包含 $P$ 的极大迷向子空间，$z \in \mathbb{C}$，构成一个25维簇。
• 一个新的塞韦里簇作为 $\mathbb{P}\mathfrak{g}(\SS, \mathbb{H})$ 中最高权向量轨道的闭包出现，其维数为25，并在六维空间中具有度量辛几何结构。