[论文解读] The sGG Class of Compact Complex Manifolds

Dan Popovici, Luis Ugarte|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Geometry and complex manifolds被引用 5

一句话总结

本文引入了紧复流形的一个新类——sGG 类，其定义为 Gauduchon 与强 Gauduchon 丛的重合，并提供了涉及 Hodge、Bott-Chern 和 Betti 数的数值刻画——特别是 $b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$，该式与凯勒曲面的行为相一致。该类在小形变和修改下保持稳定，但并非形变封闭；为此引入了一种类 Hodge-Aeppli 分解，以证明关键几何丛的半连续性。

ABSTRACT

We study the compact complex manifolds whose Gauduchon cone coincides with the (a priori smaller) strongly Gauduchon (sG) cone and give numerical characterisations of sGG manifolds defined in this way involving certain Hodge, Bott-Chern and Betti numbers, one of which is $b_1=2h^{0,\,1}_{\bar\partial}$ which makes them K\ahler-surface-like. As this class of manifolds contains the class of $\partial\bar\partial$-manifolds and is contained in that of sG manifolds, we exhibit examples showing these inclusions to be strict and sGG manifolds to be unrelated to balanced manifolds and to those whose Fr\olicher spectral sequence degenerates at $E_1$. This new manifold class is also shown to be stable under small deformations of the complex structure and under modifications, while we notice three examples showing it not to be deformation closed. Although the Hodge decomposition need not hold on sGG manifolds, we prove the existence of a weaker substitute thereof that we call {\it fake Hodge-Aeppli decomposition} and that we then use to prove semi-continuity properties of the pseudo-effective and the Gauduchon cones under deformations.

研究动机与目标

• 定义并刻画一类新的紧复流形——sGG 流形，其特征为 Gauduchon 丛与强 Gauduchon 丛相等。
• 提供数值不变量，包括 $b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$，以反映凯勒曲面类似的性质。
• 厘清代数关系：sGG 流形与 $\bar\theta\bar\theta$-流形、sG 流形、平衡流形，以及 Frölicher 族谱序列在 $E_1$ 处退化的流形之间的位置关系。
• 研究 sGG 类在小形变与修改下的稳定性。
• 建立一种‘类 Hodge-Aeppli 分解’，并利用其证明伪有效丛与 Gauduchon 丛在形变下的半连续性。

提出的方法

• 本文通过 Gauduchon 丛与强 Gauduchon 丛的相等性来定义 sGG 流形，利用 Hermitian 度量的内在几何性质。
• 利用 Bott-Chern 上同调与 Hodge 理论推导数值不变量，特别是将 $b_1$ 与 $h^{0,1}_{\bar\theta}$ 联系起来，以检测凯勒类似行为。
• 证明了‘类 Hodge-Aeppli 分解’的存在性，作为全 Hodge 分解可能在 sGG 流形上失效时的替代方案。
• 通过构造例子表明，sGG 包含于 sG 流形与 $\bar\theta\bar\theta$-流形中的包含关系是严格的，且 sGG 流形与平衡流形或 $E_1$-退化 Frölicher 族谱序列的流形无关联。
• 利用上同调与度量分析技术，证明了 sGG 类在小形变与修改下的稳定性。
• 通过类 Hodge-Aeppli 分解与形变理论论证，建立了伪有效丛与 Gauduchon 丛的半连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些数值不变量刻画了 Gauduchon 丛与强 Gauduchon 丛重合的紧复流形？
• RQ2 sGG 类与已知类（如 $\bar\theta\bar\theta$-流形、sG 流形、平衡流形，以及 $E_1$ 处退化的 Frölicher 族谱序列流形）之间有何关系？
• RQ3 sGG 类在复结构的小形变与修改下是否稳定？
• RQ4 sGG 流形上是否存在类 Hodge 分解？若不存在，能否构造一个较弱的替代形式？
• RQ5 在 sGG 流形上，伪有效丛与 Gauduchon 丛在复结构形变下的半连续性如何？

主要发现

• 通过显式例子表明，sGG 类严格介于 $\bar\theta\bar\theta$-流形与 sG 流形之间。
• sGG 流形满足条件 $b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$，表明其具有类似凯勒曲面的 Hodge 结构。
• sGG 类在复结构的小形变与修改下保持稳定，但并非形变封闭。
• sGG 流形上存在‘类 Hodge-Aeppli 分解’，作为全 Hodge 分解失效时的替代方案。
• 伪有效丛与 Gauduchon 丛在 sGG 流形上复结构形变下表现出半连续性，该结论通过类分解得以证明。
• 例子表明，sGG 流形与平衡流形无关，也与 $E_1$ 处退化的 Frölicher 族谱序列流形无关。