[论文解读] The sh-Lie algebra perturbation Lemma

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文為sh-Lie（L∞）代数建立了一個擾動引理，將鏈複形的經典擾動引理推廣至同倫李代數的設定。給定一個在包含ℚ的環上的鏈複形的收縮，原始複形上的sh-Lie代數結構會自然地誘導出較小複形上的sh-Lie結構，並透過李代數扭轉共鏈及其伴隨實現一個相關的sh-同構，從而在同倫下保持代數結構。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring which contains the rationals as a subring and let g be a chain complex. Suppose given an sh-Lie algebra structure on g, that is, a coalgebra perturbation of the coalgebra differential on the cofree coaugmented differential graded cocommutative coalgebra T' on the suspension of g and write the perturbed coalgebra as T". Suppose, furthermore, given a contraction of g onto a chain complex M. We show that the data determine an sh-Lie algebra structure on M, that is, a coalgebra perturbation of the coalgebra differential on the cofree coaugmented differential graded cocommutative coalgebra S' on the suspension of M, a Lie algebra twisting cochain from the perturbed coalgebra S" to the loop Lie algebra L on the perturbed coalgebra T", and an extension of this Lie algebra twisting cochain to a contraction of chain complexes from the Cartan-Chevalley-Eilenberg coalgebra on L onto S" which is natural in the data. For the special case where M and g are connected we also construct an explicit extension of the perturbed retraction to an sh-Lie map. This approach includes a very general solution of the master equation.

研究动机与目标

• 將鏈複形的經典擾動引理推廣至sh-Lie代數（L∞-代數）的背景，其中高階同倫來自於嚴格代數恆等式失效的情況。
• 處理cocommutative余代數之間的態射同倫一般不保持sh-Lie代數結構的微妙之處，因此需要一個精細化的框架。
• 利用給定的收縮與余代數擾動，構造一個鏈複形M與一個帶有sh-Lie代數結構的較大複形𝔤之間的自然sh-同構。
• 在連通性假設下，提供重縮映射的顯式sh-逆的構造，確保同構是可計算且保持結構的。

提出的方法

• 使用對稱余代數函子𝒮ᶜ、懸掛算子s、迴圈李代數函子ℒ與分類余代數函子𝒞，將代數結構在複形之間轉換。
• 透過原始擾動∂在𝔤上的誘導，定義在𝒮ᶜ[sM]上的微分的余代數擾動𝒟，進而定義M上的sh-Lie代數結構。
• 構造一個李代數扭轉共鏈τ: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]，用以編碼M與𝔤在同倫層級上的代數同構。
• 在𝒮ᶜ𝒟[sM]與𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]]之間建立鏈複形的收縮，其中嵌入𝒯: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → 𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]]是coaugmented dg余代數的態射。
• 利用通用扭轉共鏈的伴隨，將迴圈代數的分類余代數與對稱余代數關聯起來，確保與sh-結構的相容性。
• 應用引理4.2，在M與𝔤皆為連通時，構造扭轉共鏈之間的顯式同倫hC，從而得到重縮映射的顯式sh-逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將鏈複形的經典擾動引理推廣，以在同倫下保持sh-Lie代數結構？
• RQ2 在什麼條件下，鏈複形的收縮會在較小複形上誘導出well-defined的sh-Lie代數結構？
• RQ3 是否可以構造兩個由收縮關聯的sh-Lie代數之間的自然sh-同構？若可以，其代數編碼方式為何？
• RQ4 在什麼條件下，收縮中的重縮映射可透過高階同倫提升為顯式sh-同構？
• RQ5 為何 naïve 的同倫概念無法保持sh-Lie代數結構？如何透過高階同倫構造解決此問題？

主要发现

• 𝔤上的sh-Lie代數結構透過𝒮ᶜ[sM]上微分的余代數擾動𝒟，自然誘導出M上的sh-Lie代數結構。
• 收縮資料與𝔤上的sh-Lie結構共同決定了一個扭轉共鏈τ: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]，用以編碼同倫同構。
• τ的伴隨產生了一個態射𝒯: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → 𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]]，其為coaugmented dg余代數的態射，從而建立鏈複形的收縮。
• 此收縮在資料上是自然的，並實現了(M, 𝒟)與(𝔤, ∂)之間的sh-同構，且同構在代數結構下保持不變。
• 在M與𝔤皆為連通時，透過扭轉共鏈之間的同倫hC構造了重縮映射的顯式sh-逆，確保同構是可計算的。
• 該構造表明，雖然 naïve 同倫會使結構脫離sh-Lie代數世界，但高階同倫構造（例如透過BΩ𝒮ᶜ）能將結構保留在sh-對象的範疇內。