[论文解读] The shifted plactic monoid

Luís Serrano|ArXiv.org|Nov 13, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了移位的plactic幺半群作为经典plactic幺半群的组合结构类比，通过移位Knuth关系或Haiman的混合插入法定义。它通过plactic Schur $P$-函数建立了移位的Littlewood-Richardson法则，为移位设定下的对称函数理论提供了非交换框架。

ABSTRACT

We introduce a shifted analog of the plactic monoid of Lascoux and Schützenberger, the \emph{shifted plactic monoid}. It can be defined in two different ways: via the \emph{shifted Knuth relations}, or using Haiman's mixed insertion. Applications include: a new combinatorial derivation (and a new version of) the shifted Littlewood-Richardson Rule; similar results for the coefficients in the Schur expansion of a Schur $P$-function; a shifted counterpart of the Lascoux-Schützenberger theory of noncommutative Schur functions in plactic variables; a characterization of shifted tableau words; and more.

研究动机与目标

• 为半标准移位杨表建立经典plactic幺半群的移位类比。
• 将Lascoux-Schützenberger的非交换Schur函数理论扩展到移位设定。
• 通过plactic Schur $P$-函数，为移位的Littlewood-Richardson法则提供新的组合推导。
• 通过Sagan-Worley对应中的对偶性，表征移位表字。
• 建立移位plactic代数与Schur $P$-函数环之间的典范同构。

提出的方法

• 将移位plactic幺半群 $\mathbf{S}(X)$ 定义为自由幺半群在 $X$ 上关于移位Knuth关系的商。
• 使用Haiman的混合插入法，将移位plactic类定义为具有相同混合插入表的单词集合。
• 证明移位plactic等价性在连接下保持不变，从而确保幺半群结构。
• 将plactic Schur $P$-函数 $\mathcal{P}_\lambda$ 构造为形状 $\lambda$ 的所有移位plactic类的和。
• 证明由 $\mathcal{P}_\lambda$ 生成的环通过映射 $P_\lambda \mapsto \mathcal{P}_\lambda$ 同构于普通Schur $P$-函数环。
• 利用混合插入与Sagan-Worley对应之间的对偶性，通过逆的记录表来表征移位表字。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过移位杨表将经典plactic幺半群推广到移位设定？
• RQ2 在混合插入下，表征单词等价类的移位Knuth关系的类比是什么？
• RQ3 能否通过plactic Schur $P$-函数组合推导出移位的Littlewood-Richardson法则？
• RQ4 移位plactic代数中的非交换Schur $P$-函数与它们的交换对应物有何关系？
• RQ5 在混合插入下，产生半标准移位表的单词由什么特征决定？

主要发现

• 通过移位Knuth关系，移位plactic幺半群 $\mathbf{S}(X)$ 是良定义的，并且继承了单词连接下的幺半群结构。
• 两个单词是移位Knuth等价的，当且仅当它们具有相同的混合插入表。
• 移位plactic Schur $P$-函数 $\mathcal{P}_\lambda$ 是所有形状 $\lambda$ 的移位plactic类的和，这些函数张成移位plactic代数。
• 由 $\mathcal{P}_\lambda$ 生成的环通过映射 $P_\lambda \mapsto \mathcal{P}_\lambda$ 与普通Schur $P$-函数环之间存在典范同构。
• 移位Littlewood-Richardson系数 $b^\lambda_{\mu,\nu}$ 等于满足 $T_\mu T_\nu = T_\lambda$ 的移位plactic类对 $(T_\mu, T\nu)$ 的数量，其中 $T_\lambda$ 是形状 $\lambda$ 的固定类。
• 一个单词是移位表字，当且仅当其逆（作为双字）的记录表是一个移位标准表，通过与Sagan-Worley对应的对偶性表征。