[论文解读] The signless Laplacian spectral radius of graphs without intersecting odd cycles

Mingzhu Chen, A-Ming Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Graph theory and applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文为避免相交奇圈的图（具体为避免族 $F_{a_1,\dots,a_k}$）的无符号拉普拉斯谱半径建立了精确的上界，并刻画了达到该上界的极值图。通过稳定性方法与谱图论，证明了最大谱半径唯一由完全分裂图 $S_{n,t}$ 实现，将图论中的 Turán 型结果推广至谱半径设定下奇圈结构约束的情形。

ABSTRACT

Let $F_{a_1,\dots,a_k}$ be a graph consisting of $k$ cycles of odd length $2a_1+1,\dots, 2a_k+1$, respectively which intersect in exactly a common vertex, where $k\geq1$ and $a_1\ge a_2\ge \cdots\ge a_k\ge 1$. In this paper, we present a sharp upper bound for the signless Laplacian spectral radius of all $F_{a_1,\dots,a_k}$-free graphs and characterize all extremal graphs which attain the bound. The stability methods and structure of graphs associated with the eigenvalue are adapted for the proof.

研究动机与目标

• 确定所有不包含 $k$ 个在公共顶点相交的奇圈的图中，无符号拉普拉斯谱半径的最大值，即 $F_{a_1,\dots,a_k}$-自由图中的最大谱半径。
• 刻画实现该最大谱半径的极值图。
• 将 Brualdi-Solheid-Turán 型问题从邻接谱半径推广至在奇圈相交约束下的无符号拉普拉斯谱半径。
• 将已知的关于奇圈的 Turán 型结果推广至谱极值设定。

提出的方法

• 在谱图论中运用稳定性方法，分析在 $F_{a_1,\dots,a_k}$-自由条件下具有最大无符号拉普拉斯谱半径的图的结构。
• 利用 Perron-Frobenius 定理比较谱半径，排除次优的图结构配置。
• 应用结构引理分析移除中心顶点 $u$ 后图 $G - u$ 的各分量，确保不形成如 $P_{2t+1}$ 或 $F_{a_1,\dots,a_k}$ 等禁止子图。
• 通过最小度约束界定子图之间的边数，并利用已知的极值图边界，如 $ex(n, C_{2a+1}) = \lfloor n^2/4 \rfloor$。
• 分析 $G - u$ 中诱导子图 $H_i$ 的结构，证明其必须包含于 $S_{h_i,t-1}$ 或同构于 $L_{r_i,t-1}$，若存在多个此类分量则导致矛盾。
• 通过反证法与边计数法证明，仅能存在一个此类分量，且极值图必为 $S_{n,t}$，即完全分裂图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于避免 $k$ 个在公共顶点相交的奇圈的图，其无符号拉普拉斯谱半径的最大可能值是多少？
• RQ2 在 $F_{a_1,\dots,a_k}$-自由条件下，哪些图能实现该最大谱半径？
• RQ3 图的结构，特别是奇圈公共顶点周围的结构，如何约束谱半径？
• RQ4 在这些谱与结构约束下，极值图能否被唯一刻画？

主要发现

• 对于 $F_{a_1,\dots,a_k}$-自由图，其无符号拉普拉斯谱半径的精确上界为 $q(S_{n,t})$，其中 $S_{n,t}$ 是阶为 $n$、参数为 $t$ 的完全分裂图。
• 实现该上界的极值图唯一为 $S_{n,t}$，即完全图 $K_t$ 与大小为 $n-t$ 的独立集的联图，前提是 $n$ 足够大。
• 任何谱半径等于 $q(S_{n,t})$ 的图必须同构于 $S_{n,t}$，因为根据 Perron-Frobenius 定理，任何真子图的谱半径严格更小。
• 若 $G$ 在 $G - u$ 中存在多个支持最小度为 $t-1$ 的子图的分量，则 $G$ 必含 $F_{a_1,\dots,a_k}$ 作为子图，与 $F_{a_1,\dots,a_k}$-自由假设矛盾。
• 证明表明，若 $G$ 包含 $L_{r,t-1}$ 作为真子图，则除非引入禁止路径或环，否则将导致矛盾，因此唯一可能为 $G = S_{n,t}$。
• 该刻画对足够大的 $n$ 成立，其中 $ex(n, H_{k,s}) = \lfloor n^2/4 \rfloor + (k-1)^2$ 作为谱分析的结构基础。