[论文解读] The simplest mixed finite element method for linear elasticity in the symmetric formulation on $n$-rectangular grids

Jun Hu, Hongying Man+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 11

一句话总结

该论文提出了一类在任意空间维数下基于矩形单元网格的线性弹性问题的极小、对称、非协调混合有限元方法，采用极小多项式空间：法向应力 σ_ii 的空间为 span{1, x_i}，剪应力 σ_ij 的空间为 span{1, x_i, x_j}，位移的空间为 span{1}。该方法实现了最优收敛率，并在数值实验中表现出意料之外的超收敛现象，相较于以往具有更少自由度的元素表现出更优性能。

ABSTRACT

A family of mixed finite elements is proposed for solving the first order system of linear elasticity equations in any space dimension, where the stress field is approximated by symmetric finite element tensors. This family of elements has a perfect matching between the stress components and the displacement. The discrete spaces for the normal stress $σ_{ii}$, the shear stress $σ_{ij}$ and the displacement $u_i$ are $\operatorname{span}\{1,x_i\}$, $\operatorname{span}\{1,x_i,x_j\}$ and $\operatorname{span}\{1\}$, respectively, on rectangular grids. In particular, the definition remains the same for all space dimensions. As a result of these choices, the theoretical analysis is independent of the spatial dimension as well. In 1D, this element is nothing else but the 1D Raviart-Thomas element, which is the only conforming element in this family. In 2D and higher dimensions, they are new elements but of the minimal degrees of freedom. The total degrees of freedom per element is 2 plus 1 in 1D, 7 plus 2 in 2D, and 15 plus 3 in 3D. The previous record of the least degrees of freedom is, 13 plus 4 in 2D, and 54 plus 12 in 3D, on the rectangular grid. These elements are the simplest element for any space dimension. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate of the family of finite elements are proved for both pure displacement and traction problems. Numerical tests in 2D and 3D are presented to show a superiority of the new element over others, as a superconvergence is surprisingly exhibited.

研究动机与目标

• 为 n 维矩形单元网格上的线性弹性问题，构建一种在对称应力弱形式下的稳定、协调的混合有限元方法。
• 在保持位移与牵引力边界条件下最优收敛与稳定性的前提下，最小化自由度数量。
• 克服高维问题中非协调性与离散 inf-sup 条件带来的挑战。
• 提供一种统一的、与维数无关的公式化方法，使其在 1D、2D 和 3D 中表现一致。
• 通过数值实验展示优越性能，包括意料之外的超收敛现象。

提出的方法

• 该方法采用极小多项式有限元空间：每个矩形单元上，法向应力分量 σ_ii 使用 span{1, x_i}，剪应力 σ_ij 使用 span{1, x_i, x_j}，位移 u_i 使用 span{1}。
• 离散空间的构造与应力分量的方向导数相匹配，确保与问题的物理结构一致。
• 采用非协调混合有限元公式，避免传统协调方法中常见的顶点自由度与复合单元。
• 通过验证离散 inf-sup 条件证明稳定性，依赖于离散精确序列与典范插值算子。
• 方法以线性弹性问题的一阶系统形式表述，基于 Hellinger-Reissner 变分原理。
• 数值实验采用矩形单元网格的均匀加密，以及节点插值算子来计算误差与收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为线性弹性问题构建一种极小、对称、非协调的混合有限元方法，使其在任意空间维数下稳定且收敛？
• RQ2 尽管自由度极小且为非协调形式，该方法是否仍能实现最优收敛率？
• RQ3 该方法在数值实验中是否表现出超收敛现象，即使理论分析仅保证一阶收敛？
• RQ4 与具有更多自由度的现有元素相比，该方法在效率与精度方面表现如何？
• RQ5 在矩形单元网格上，使用如此极小的多项式空间，是否仍能满足离散 inf-sup 条件？

主要发现

• 尽管理论分析仅证明一阶收敛，该方法在 L2 范数下对位移与应力均实现了二阶最优收敛率。
• 2D 与 3D 的数值实验表明存在超收敛现象，位移、应力及应力误差散度的收敛阶数均为 2.0，超过理论预测。
• 该新单元在 2D 中每个单元仅含 7+2 个自由度，在 3D 中为 15+3 个自由度，显著少于此前记录的 13+4（2D）与 54+12（3D）。
• 数值结果证实，该方法在纯位移与纯牵引力问题中均保持稳定与收敛，结果在单位正方形与单位立方体上得到验证。
• 在 2D 中，该新单元在收敛率与自由度数量方面均优于 Yi 的单元 [31]，以更少的自由度实现了一阶更高的收敛阶。
• 3D 实现结果确认了相同的超收敛行为，所有误差范数的收敛阶数均为 2.0，尽管理论仅保证一阶收敛。