[论文解读] The simplified SIS model in a low-risk or high-risk domain: Spreading or vanishing of the disease

Jing Ge, Kwang Ik Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 1

一句话总结

本文提出了一种简化的SIS反应-扩散-对流模型，结合自由边界，以研究在空间异质环境中疾病传播的机制。该研究引入了一个时变的基本再生数 $R_0^F(t)$，并证明：若存在某个 $t_0 \geq 0$ 使得 $R_0^F(t_0) \geq 1$，则疾病将传播至整个区域；否则，在初始感染范围较小且扩张速率较低时，疾病可被根除。

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

研究动机与目标

• 理解空间异质性与对流如何影响空间结构化环境中疾病的持续存在或根除。
• 利用随感染动态演化的自由边界，对传染病传播前沿进行建模。
• 在空间异质、扩散型SIS框架中，定义并分析一个时变的基本再生数 $R_0^F(t)$。
• 识别疾病普遍传播或消失的条件，尤其关注初始条件与扩张速率的影响。
• 推导传播速度，并量化对流与扩张速率对疾病前沿传播的影响。

提出的方法

• 构建一个带有自由边界的反应-扩散-对流SIS模型，以表征移动的流行病前沿。
• 引入一个时变的基本再生数 $R_0^F(t)$，以捕捉疾病在每个时间点的传播潜力。
• 在不同参数条件下，分析系统正解的长期行为。
• 基于 $R_0^F(0)$、初始感染规模和扩张速率，建立疾病根除或传播的充分条件。
• 当疾病传播时，通过自由边界动力学的渐近分析推导传播速度。
• 进行数值模拟，以说明对流与扩张速率对传播前沿的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有对流的空间异质环境中，疾病在何种条件下会传播至整个区域？
• RQ2 时变的基本再生数 $R_0^F(t)$ 如何决定疾病的长期命运？
• RQ3 初始感染区域大小、扩张速率和扩散速度在疾病控制中起什么作用？
• RQ4 对流如何影响疾病前沿传播的速度与模式？
• RQ5 即使 $R_0^F(t)$ 在后续某个时刻超过1，疾病是否仍可能消失？在何种条件下会发生？

主要发现

• 若存在某个 $t_0 \geq 0$ 使得 $R_0^F(t_0) \geq 1$，则无论初始条件如何，疾病都将传播至整个区域。
• 若 $R_0^F(0) < 1$，疾病仍可能传播，具体取决于扩张速率和初始感染人数。
• 快速扩散、低扩张速率以及小的初始感染区域均有利于疾病根除。
• 当疾病传播时，传播速度可显式推导，其依赖于对流与扩散参数。
• 数值模拟证实，对流与扩张速率显著影响传播前沿的形状与速度。
• 该模型表明，若在任意时刻 $t_0$ 扩散区域变为高风险区域，则疾病可能在高风险区域持续存在。