[论文解读] The Singular Angle of Nonlinear Systems

Chao Chen, Zhao, Di+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2021

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出了“奇异角”这一新概念——一种用于稳定非线性系统的新型输入-输出度量，用于量化L2空间中输入与输出信号之间最大角度偏差（旋转效应）。该文建立了非线性小角定理，表明当环路系统的奇异角小于π时，反馈系统稳定，为L2-增益提供了一种类比的角域对应物，并成为被动性分析与鲁棒控制设计的新工具。

ABSTRACT

In this paper, we introduce an angle notion called the singular angle for nonlinear systems from an input-output perspective. The proposed system singular angle, based on the angle between $L_2$-signals, describes an upper bound for the ''rotating effect'' from system input to output signals. It quantifies passivity and serves as a counterpart to system $L_2$-gain. It also provides an alternative to a recently defined notion of system phase which adopts complexification of real-valued signals via the Hilbert transform. A nonlinear small angle theorem is established for feedback stability analysis, which involves a comparison of the loop system angle with $π$. The theorem generalizes the classical passivity theorem via a tradeoff between the singular angles of open-loop systems.

研究动机与目标

• 为解决非线性系统与MIMO系统中相位或角度概念缺乏共识的问题，特别是作为L2-增益的类比。
• 提出一种新的输入-输出度量——称为奇异角，用于量化系统从输入到输出信号的旋转效应。
• 提供一种几何化的、基于角度的替代方法，以替代现有的被动性指标与非线性小增益定理。
• 通过频率域与H∞奇异角，将该概念推广至MIMO线性时不变（LTI）系统，实现更广泛的稳定性分析。
• 建立非线性小角定理，用于反馈稳定性分析，其形式类比于小增益定理，但基于角度边界而非增益边界。

提出的方法

• 利用标准希尔伯特空间内积定义L2信号之间的夹角：θ(f,g) = arccos(⟨f,g⟩ / (||f|| ||g||))。
• 通过在所有非零输入上取输入与输出信号之间夹角的上确界，将该信号级夹角推广至系统层面，定义为奇异角。
• 以威兰特（Wielandt）提出的矩阵奇异角为灵感，将系统奇异角定义为输入与输出信号之间夹角的本性上确界。
• 建立非线性小角定理：若环路系统的奇异角小于π，则反馈互连系统稳定。
• 对于MIMO LTI系统，利用传递函数矩阵的矩阵奇异角，定义频率域奇异角与H∞奇异角。
• 证明在特定条件下，H∞奇异角满足有界性：θ∞(P) ∈ (π/2, π − arccos(2√(ab)/(a+b)))，并基于角度和推导出稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非线性系统发展一种明确定义的几何角度概念，以量化系统从输入到输出的旋转效应？
• RQ2 所提出的奇异角与现有概念（如被动性、L2-增益，以及通过希尔伯特变换定义的非线性相位）有何关系？
• RQ3 能否建立一个反馈稳定性的小角定理，其形式类比于小增益定理，但使用角度边界而非增益边界？
• RQ4 奇异角概念如何推广至MIMO LTI系统？其频率域特性与H∞特性为何？
• RQ5 在某些情况下，奇异角是否严格小于H∞奇异角？这对系统分析意味着什么？

主要发现

• 被动系统的奇异角至多为π/2，为被动性提供了几何表征。
• 奇异角与现有被动性指标不同，提供了系统行为的替代性角度度量。
• 非线性小角定理表明：当环路系统的奇异角小于π时，反馈系统稳定，该结果推广了被动性定理。
• 对于MIMO LTI系统，在传递函数实部与虚部满足特定条件时，H∞奇异角满足θ∞(P) ∈ (π/2, π − arccos(2√(ab)/(a+b)))。
• 构造了一个实例，其中θ∞(P) < θ(P)，证明H∞奇异角在某些情况下可严格小于系统奇异角。
• 小角定理与小增益定理、被动性定理互为补充，为鲁棒控制分析提供了全新的角域框架。