[论文解读] The Singular Structure and Regularity of Stationary and Minimizing Varifolds

Aaron Naber, Daniele Valtorta|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 30

一句话总结

该论文证明了具有有界平均曲率的整值变分集的奇异层 $ S^k(I) $ —— 尤其是静止和极小化变分集 —— 是 $ k $-可矩形的，且在 $ k $-几乎处处点处具有唯一的 $ k $-切平面。此外，论文还证明了正则性尺度和第二基本形式的尖锐 $ L^7_{\text{weak}} $ 估计，并将其应用于共形维数为一的极小化超曲面。

ABSTRACT

If one considers an integral varifold $I^m\subseteq M$ with bounded mean curvature, and if $S^k(I)\equiv\{x\in M: ext{ no tangent cone at $x$ is }k+1 ext{-symmetric}\}$ is the standard stratification of the singular set, then it is well known that $\dim S^k\leq k$. In complete generality nothing else is known about the singular sets $S^k(I)$. In this paper we prove for a general integral varifold with bounded mean curvature, in particular a stationary varifold, that every stratum $S^k(I)$ is $k$-rectifiable. In fact, we prove for $k$-a.e. point $x\in S^k$ that there exists a unique $k$-plane $V^k$ such that every tangent cone at $x$ is of the form $V imes C$ for some cone $C$. In the case of minimizing hypersurfaces $I^{n-1}\subseteq M^n$ we can go further. Indeed, we can show that the singular set $S(I)$, which is known to satisfy $\dim S(I)\leq n-8$, is in fact $n-8$ rectifiable with uniformly finite $n-8$ measure. An effective version of this allows us to prove that the second fundamental form $A$ has apriori estimates in $L^7_{weak}$ on $I$, an estimate which is sharp as $|A|$ is not in $L^7$ for the Simons cone. In fact, we prove the much stronger estimate that the regularity scale $r_I$ has $L^7_{weak}$-estimates. The above results are in fact just applications of a new class of estimates we prove on the quantitative stratifications $S^k_{ε,r}$ and $S^k_ε\equiv S^k_{ε,0}$. Roughly, $x\in S^k_ε\subseteq I$ if no ball $B_r(x)$ is $ε$-close to being $k+1$-symmetric. We show that $S^k_ε$ is $k$-rectifiable and satisfies the Minkowski estimate $Vol(B_r\,S_ε^k)\leq C_εr^{n-k}$. The proof requires a new $L^2$-subspace approximation theorem for integral varifolds with bounded mean curvature, and a $W^{1,p}$-Reifenberg type theorem proved by the authors in \cite{NaVa+}.

研究动机与目标

• 解决关于具有有界平均曲率的整值变分集中奇异集几何结构的长期悬而未决问题。
• 证明每个奇异层 $ S^k(I) $ 都是 $ k $-可矩形的，即使在缺乏完整对称性或极小性的情况下亦然。
• 证明在极小化超曲面上，正则性尺度和第二基本形式的尖锐 $ L^7_{\text{weak}} $ 估计。
• 提出一种新的定量分层框架 $ S^k_{\epsilon,r} $，以分析奇异集的大小和结构。
• 将经典 Reifenberg 定理推广至 $ W^{1,p} $-正则性，并为变分集证明一个新的 $ L^2 $-子空间逼近定理。

提出的方法

• 引入定量分层 $ S^k_{\epsilon,r} $，其中 $ x \in S^k_{\epsilon,r} $ 当且仅当在任意球 $ B_r(x) $ 中，均不与 $ k+1 $-对称结构 $ \epsilon $-接近。
• 证明 $ S^k_{\epsilon} $ 是 $ k $-可矩形的，并满足 Minkowski 估计 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $。
• 为具有有界平均曲率的整值变分集建立一个新的 $ L^2 $-子空间逼近定理。
• 应用 [NVa] 中的 $ W^{1,p} $-Reifenberg 型定理，以控制逼近子空间的正则性。
• 使用带有离散 Reifenberg 型构造的归纳覆盖论证，证明体积和测度界。
• 利用 $ \epsilon $-正则性定理和单调性，将定量分层与经典奇异层 $ S^k(I) $ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界平均曲率的整值变分集的奇异层 $ S^k(I) $ 是否为 $ k $-可矩形的？
• RQ2 对于 $ k $-几乎处处的 $ x \in S^k(I) $，是否存在唯一的 $ k $-平面 $ V^k \subseteq T_xM $，使得在 $ x $ 处的所有切锥均为 $ V^k \times C $ 的形式（$ C $ 为某锥体）？
• RQ3 能否在极小化超曲面上建立正则性尺度和第二基本形式的尖锐 $ L^7_{\text{weak}} $ 估计？
• RQ4 极小化超曲面 $ I^{n-1} \subseteq M^n $ 的奇异集 $ S(I) $ 是否为 $ n-8 $-可矩形的，且具有均匀有限的 $ n-8 $-维测度？
• RQ5 能否利用定量分层 $ S^k_{\epsilon,r} $ 推导出第二基本形式等几何量的有效的 $ L^p $-界？

主要发现

• 任何具有有界平均曲率的整值变分集的奇异层 $ S^k(I) $ 对所有 $ k $ 均为 $ k $-可矩形的。
• 对于 $ k $-几乎处处的 $ x \in S^k(I) $，存在唯一的 $ k $-平面 $ V^k \subseteq T_xM $，使得在 $ x $ 处的每个切锥均为 $ V^k \times C $ 的形式（$ C $ 为某锥体）。
• 对于极小化超曲面 $ I^{n-1} \subseteq M^n $，奇异集 $ S(I) $ 为 $ n-8 $-可矩形的，且具有均匀有限的 $ n-8 $-维测度。
• 正则性尺度 $ r_I $ 满足 $ \|r_I^{-1}\|_{L^7_{\text{weak}}} \leq C $，且该估计是尖锐的，因为对于 Simons 锥体有 $ |A| \notin L^7 $。
• 定量分层 $ S^k_\epsilon $ 满足 Minkowski 估计 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $，从而蕴含可矩形性。
• 第二基本形式 $ A $ 满足 $ \|A\|_{L^7_{\text{weak}}(I)} \leq C $，该估计是最优的，如 Simons 锥体反例所示。