[论文解读] The singularities and Kodaira dimension of unitary Shimura varieties

Yota Maeda|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明当 n > 4 时，单位性志村簇具有规范奇点，并通过分析在分歧除子上消失的低权模形式，特别是 Borcherds 形式 Φ₁₂ 的限制，证明了在 Q(√−1) 和 Q(√−3) 上的某些单位性志村簇为一般型。

ABSTRACT

The Kodaira dimension of Shimura varieties has been studied by many people. Kondo and Gritsenko-Hulek-Sankaran studied the singularities of orthogonal Shimura varieties related to the moduli spaces of polarized K3 surfaces. They proved that they have canonical singularities and are of general type if the polarization degree is sufficiently large. In this paper, we work on similar problems for unitary Shimura varieties. We show that they have canonical singularities if $n > 4$. As an application, we show that certain unitary Shimura varieties associated with Hermitian forms over the rings of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ are of general type. We use modular forms of low weight vanishing on ramification divisors, which are the restrictions of the quasi-pullbacks of the Borcherds form $Φ_{12}$.

研究动机与目标

• 研究单位性志村簇的奇点与 Kodaira 维数，扩展此前对正交志村簇的研究。
• 确定单位性志村簇为一般型的条件，特别是关于虚二次域整数环上厄米特型的情形。
• 分析模形式（尤其是于分歧除子上消失的低权模形式）在决定这些簇的双有理几何中的作用。
• 将 Borcherds 形式 Φ₁₂ 的拟拉回方法扩展至单位性情形，以推导模形式空间的几何性质。

提出的方法

• 利用模形式理论，特别是 Borcherds 形式 Φ₁₂，构造单位性志村簇上的低权模形式。
• 将 Borcherds 形式 Φ₁₂ 限制在分歧除子上，以分析模形式的消失行为。
• 使用拟拉回构造生成可检测奇点与双有理不变量的模形式。
• 应用准则：当 canonical 除子为 Cartier 且分歧非负时，产生规范奇点。
• 分析与 K = Q(√−1)、Q(√−3) 上整数环 O_K 上厄米特型相关的单位性志村簇的几何结构。
• 通过证明低权模形式在奇点集上消失，确认 canonical 线丛为大丛，从而确立 Kodaira 维数为一般型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单位性志村簇具有规范奇点？
• RQ2 能否利用低权模形式确定单位性志村簇的 Kodaira 维数？
• RQ3 Borcherds 形式 Φ₁₂ 限制在分歧除子上如何影响单位性志村簇的双有理几何？
• RQ4 与 O_Q(√−1) 和 O_Q(√−3) 上厄米特型相关的单位性志村簇是否为一般型？
• RQ5 Φ₁₂ 的拟拉回在检测单位性志村簇中的奇点与 canonical 线丛中起什么作用？

主要发现

• 当维数参数 n > 4 时，单位性志村簇具有规范奇点。
• 与虚二次域 Q(√−1) 和 Q(√−3) 整数环上厄米特型相关的某些单位性志村簇为一般型。
• 低权模形式（特别是 Borcherds 形式 Φ₁₂ 的限制）在分歧除子上消失，对确定 Kodaira 维数具有关键作用。
• Φ₁₂ 的拟拉回构造为检测单位性志村簇中的规范奇点与双有理不变量提供了有效方法。
• 所研究的单位性志村簇的 canonical 线丛为大丛，确认其为一般型。
• 这些簇的几何性质由模形式与奇点集结构之间的相互作用所决定。