[论文解读] The singularities of Yang-Mills connections for bundles on a surface. II. The stratification

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Nov 22, 1994

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文证明了在紧致闭曲面上的主丛上，中心杨-米尔斯联络的模空间在规范群作用的轨道类型下 admits 一种强（Whitney）分层。每个分层均为有限体积的光滑辛流形，细化了杨-米尔斯泛函的临界集，并通过提供模空间奇点的更精细分解，扩展了阿蒂亚-博特的结果。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a closed surface, $G$ a compact Lie group, not necessarily connected, with Lie algebra $g$, endowed with an adjoint action invariant scalar product, let $ξ\colon P o Σ$ be a principal $G$-bundle, and pick a Riemannian metric and orientation on $Σ$ so that the corresponding Yang-Mills equations are defined. In an earlier paper we determined the local structure of the moduli space $N(ξ)$ of central Yang-Mills connections on $ξ$ near an arbitrary point. Here we show that the decomposition of $N(ξ)$ into connected components of orbit types of central Yang-Mills connections is a stratification in the strong (i.~e. Whitney) sense; furthermore each stratum, being a smooth manifold, inherits a finite volume symplectic structure from the given data. This complements, in a way, results of {\smc Atiyah-Bott} in that it will in general decompose further the critical sets of the corresponding Yang-Mills functional into smooth pieces.

研究动机与目标

• 分析主丛在紧致闭曲面上的中心杨-米尔斯联络模空间的全局结构。
• 证明该模空间按规范群作用的轨道类型进行分解，形成一种强分层。
• 证明在此分解中，每个分层均继承自底层几何数据的有限体积辛结构。
• 通过将临界集分解为光滑的辛流形，细化杨-米尔斯泛函的临界集。
• 通过提供模空间奇点的更精细、分层化的描述，扩展阿蒂亚-博特框架。

提出的方法

• 分析依赖于中心杨-米尔斯联络模空间的轨道类型分解，基于规范群对联络的作用。
• 本文使用作者先前工作中建立的在中心杨-米尔斯联络附近模空间的局部模型。
• 应用微分几何技术，验证轨道类型分层满足Whitney条件(a)和(b)，从而确保强分层。
• 每个分层上的辛结构由规范群作用下通过约化从联络空间的自然辛形式导出。
• 每个分层的有限体积由曲面的紧致性及度量在群作用下的不变性推导得出。
• 该论证结合李理论、曲面上的黎曼几何以及等变微分拓扑，确立了分层的光滑性与辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 中心杨-米尔斯联络模空间按轨道类型进行分解是否构成Whitney分层？
• RQ2 模空间中每个轨道类型分层是否可赋予有限体积辛结构？
• RQ3 与阿蒂亚-博特框架相比，该分层如何更精细地分解杨-米尔斯泛函的临界集？
• RQ4 曲面上杨-米尔斯联络模空间中奇点的几何与拓扑性质为何？
• RQ5 规范群作用在多大程度上将模空间分解为光滑的辛部分？

主要发现

• 在紧致闭曲面上的主丛上，中心杨-米尔斯联络的模空间在规范群作用的轨道类型下 admits 一种强分层。
• 该分层中的每个分层均为光滑流形，且分层满足Whitney条件(a)和(b)。
• 每个分层均从周围联络空间继承辛结构，使其成为有限体积的辛流形。
• 该分层提供了比以往已知更精细的杨-米尔斯泛函临界集分解，尤其超越了阿蒂亚-博特分析的范围。
• 结果适用于紧致李群（不一定是连通的），其李代数配备有Ad-不变内积。
• 该构造本质上依赖于曲面与丛的几何，仅依赖于基空间的黎曼度量与定向。