[论文解读] The Sitting Closer to Friends than Enemies Problem in the Circumference

Felipe Benítez, Julio Aracena+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Political Conflict and Governance参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文通过证明完全带符号图在圆周上满足Sitting Closer to Friends than Enemies（SCFE）问题当且仅当其正子图是合适的圆弧图时，解决了该问题。该解法利用扩展邻接矩阵的循环相容1特性，以多项式时间刻画了可实现性。

ABSTRACT

The Sitting Closer to Friends than Enemies (SCFE) problem is to find an embedding in a metric space for the vertices of a given signed graph so that, for every pair of incident edges with different sign, the positive edge is shorter (in the metric of the space) than the negative edge. In this document, we present new results regarding the SCFE problem when the metric space in consideration is the circumference. Our main results say that, given a signed graph, it is NP-complete to decide whether such an embedding exists in the circumference or not. Nevertheless, if the given signed graph is complete, then such decision can be made in polynomial time. In particular, we prove that, given a complete signed graph, it has such an embedding if and only if its positive part is a proper circular arc graph.

研究动机与目标

• 刻画完全带符号图在圆周度量空间中存在有效距离图绘的条件。
• 为圆周上的SCFE问题建立一个多项式时间决策程序。
• 通过矩阵相容性特性，将SCFE问题与著名的合适圆弧图类联系起来。
• 为圆周上有效距离图绘的存在性提供必要且充分的条件。
• 为将SCFE问题从完全图扩展至更广泛图类，并对问题进行更全面的复杂性分类奠定基础。

提出的方法

• 将圆周上的SCFE问题定义为将顶点注入单位圆的单射，使得每个顶点到其朋友（正边）的距离小于到其敌人（负边）的距离。
• 使用扩展邻接矩阵 $ A^*(S) $ 表示带符号图，其中条目编码边的符号并包含自环。
• 引入矩阵的循环相容1特性，以确保每个顶点周围正负邻居的循环顺序一致。
• 通过基于角度距离顺序的反证法，证明只有当 $ A^*(S) $ 满足循环相容1特性时，才存在有效距离图绘。
• 利用文献中已知的刻画：一个图是合适圆弧图当且仅当其扩展邻接矩阵具有循环相容1特性。
• 建立在 $ \mathcal{C} $ 中存在有效图绘与正子图 $ S^+ $ 为合适圆弧图之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些完全带符号图，存在圆周上的有效距离图绘？
• RQ2 扩展邻接矩阵 $ A^*(S) $ 的循环相容1特性是否为圆周上存在有效图绘的必要且充分条件？
• RQ3 能否对完全带符号图在圆周上的SCFE问题实现多项式时间决策？
• RQ4 圆周上的SCFE问题是否为NP完全问题，其与实直线上的SCFE问题有何关系？
• RQ5 对一般带符号图（不一定是完全图）的结构特征是什么，使其在圆周上存在有效距离图绘？

主要发现

• 完全带符号图 $ S $ 在圆周上存在有效距离图绘当且仅当其正子图 $ S^+ $ 是合适圆弧图。
• 当顶点按图绘顺序排列时，扩展邻接矩阵 $ A^*(S) $ 的循环相容1特性是圆周上存在有效距离图绘的必要且充分条件。
• 由于合适圆弧图可多项式时间识别，因此对完全带符号图，圆周上的SCFE问题可多项式时间决策。
• 该证明建立了圆周上几何可实现性与著名图类之间的直接联系，从而支持高效算法解决方案。
• 引理由5.6得出的必要条件——即 $ A^*(S) $ 必须具有循环相容1特性——在与[12]中的刻画结合时，也具有充分性。
• 在 $ \mathbb{R} $ 上的SCFE问题可归约为在 $ \mathcal{C} $ 上的SCFE问题，意味着后者为NP难，尽管其NP完全性仍待确认。