[论文解读] The sixth Hilbert's problem and the principles of quantum informatics

Yu. I. Bogdanov|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出，希尔伯特空间几何为量子力学与概率论提供了基础框架，通过柯西-施瓦茨不等式和特征函数，利用傅里叶变换统一坐标与动量表象。结果表明，量子信息理论自然地成为概率论与量子力学的理论基础，互补性与不确定性原理根植于几何概率结构。

ABSTRACT

By the example of a Fourier transform, the possibilities of Hilbert space geometry applications for statistical model construction are analyzed. In accordance with Bohr's complementarity principle, mutually-complementary coordinate and momentum representations are presented. It was demonstrated that the characteristic function of coordinate distribution may be considered as a convolution of the psi-function in momentum representation and vice versa. The naturalness of coordinate and momentum operators introduction is demonstrated. A probabilistic interpretation of Hilbert space geometry is given. Cauchy-Bunyakowsky (Cauchy-Schwartz), Cramer-Rao and uncertainty inequalities are considered in the same framework. The principal postulates of quantum informatics as a natural science are presented. It is demonstrated that quantum informatics serves as a theoretic basis for both probability theory and quantum mechanics.

研究动机与目标

• 使用希尔伯特空间建立量子力学与概率论的几何基础。
• 展示傅里叶变换如何通过特征函数将坐标表象与动量表象联系起来。
• 表明坐标与动量算符的自然引入源于希尔伯特空间的几何结构。
• 在统一的概率-几何框架内解释量子不确定性和克拉美-罗不等式。
• 将量子信息理论定位为概率论与量子力学的根本理论基础。

提出的方法

• 使用傅里叶变换将动量空间中的波函数与坐标分布的特征函数联系起来。
• 应用柯西-布尼亚科夫斯基（柯西-施瓦茨）不等式，推导希尔伯特空间中的概率界。
• 将动量表象中的ψ-函数表述为坐标分布特征函数的卷积核。
• 对希尔伯特空间内积与范数给出概率解释。
• 从希尔伯特空间中的几何约束推导出不确定性和克拉美-罗不等式。
• 利用玻尔的互补性原理，为坐标与动量表象之间的对偶性提供理论依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特空间几何如何作为量子力学与概率论的统一框架？
• RQ2 傅里叶变换以何种方式将动量空间中的波函数与坐标分布的特征函数联系起来？
• RQ3 柯西-施瓦茨不等式、克拉美-罗不等式与不确定性不等式如何从同一几何结构中导出？
• RQ4 互补性在量子力学的几何表述中起什么作用？
• RQ5 量子信息理论能否被自然地推导为概率论与量子力学的根本理论基础？

主要发现

• 坐标分布的特征函数在数学上等价于动量空间波函数与其自身的卷积。
• 坐标与动量算符的自然引入源于希尔伯特空间的几何结构及傅里叶变换。
• 柯西-施瓦茨不等式为量子态之间的重叠提供基本界限，并具有概率解释。
• 不确定性原理作为希尔伯特空间中位置与动量算符非对易性的几何结果而产生。
• 克拉美-罗不等式从同一希尔伯特空间框架中导出，将统计估计与量子测量精度联系起来。
• 结果表明，量子信息理论通过几何概率结构，为概率论与量子力学提供了基础理论依据。